גאומטריה היפרבולית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

גאומטריה היפרבולית היא גאומטריה לא אוקלידית שבה האקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים, מוחלפת באקסיומה הבאה:

• דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה.

במהלך השנים שאחרי פרסום "יסודות" של אוקלידס, הייתה מקובלת התחושה שאקסיומת המקבילים (הקובעת שדרך נקודה שמחוץ לישר עובר קו מקביל אחד ויחיד) אינה 'טבעית' ומובנת מאליה כמו שאר האקסיומות של הגאומטריה. תחושה זו הביאה לנסיונות חוזרים ונשנים להוכיח את האקסיומה החמישית כמשפט גאומטרי. כל הנסיונות מסוג זה נכשלו, עד שבמאה ה- 18, המתמטיקאים גאוס, בולאי ולובצ'בסקי הגיעו במקביל למסקנה שהאקסיומה החמישית באמת אינה נובעת מן האקסיומות האחרות. הם הבינו שניתן להחליף את האקסיומה המקובלת בזו המצוינת לעיל, ולקבל מבנה גאומטרי עשיר ומעניין, גם אם שונה מאוד מן הגאומטריה האוקלידית. אחד ההבדלים הבולטים הוא שבגאומטריה היפרבולית, סכום הזוויות במשולש תמיד קטן ממאה ושמונים מעלות.

[עריכה] עקביות הגאומטריה ההיפרבולית

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה עקבית, כלומר, שאין בה סתירות, היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר הוא שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור ההיפרבולי, ומאפיינים את הנקודות ואת הקוים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקוים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.

באופן צפוי (אך אירוני משהו), המודלים המקובלים לגאומטריה ההיפרבולית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. יש להבין שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה על הגאומטריה ההיפרבולית. זו כשלעצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות. (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).

[עריכה] מודלים של המישור ההיפרבולי

ישנם שלושה מודלים מקובלים למישור ההיפרבולי, כולם כאמור ניתנים לתאור ובניה במסגרת הגאומטריה האוקלידית. במודל הראשון, מודל הדיסק של פואנקרה, המישור ההיפרבולי הוא עיגול, ששפתו היא מעגל מסוים. הקוים הישרים במודל זה הם כל הקשתות של מעגלים שהם מאונכים למעגל השפה, וכן הקטרים של העיגול.

במודל של לורנץ המישור ההיפרבולי הוא החצי העליון של היריעה , כאשר כל קו ישר הוא חיתוך של היריעה עם מישור (אוקלידי) העובר דרך ראשית הצירים.

המודל השלישי, גם הוא מיוחס לפואנקרה, הוא החשוב ביותר. זהו מודל חצי המישור העליון, שבו המישור ההיפרבולי מזוהה עם החצי של המישור המרוכב, והקוים הישרים הם חצאי מעגלים המאונכים לציר ה- x, והישרים המקבילים לציר ה- y. במודל זה מוגדרת מטריקה היפרבולית לפי התבנית הדיפרנציאלית , והוא מהווה כיסוי אוניברסלי לכל משטח רימן בעל עקמומיות קבועה ושלילית.