Hyperbolische Geometrie
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Die hyperbolische Geometrie als Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie erhält man, wenn man anstelle des Parallelenaxioms eine seiner Verneinungen, das „hyperbolische Axiom“ annimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P nicht nur wie bei der euklidischen Geometrie eine einzige, sondern mindestens zwei Geraden gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben.
Es lässt sich zeigen, dass es dann durch den Punkt unendlich viele Nichtschneidende („Parallelen“) zu der Geraden gibt. Zwei davon sind in einer Grenzlage und heißen grenzparallel zur Geraden, während die restlichen Geraden überparallel genannt werden.
Ein einfaches Modell zum Veranschaulichen einer solchen Geometrie ist das Poincaré-Modell: Die „Ebene“ ist hier eine offene Kreisscheibe („offen“ bedeutet, dass der Rand des Kreises nicht zur Ebene dazugehört), und „Geraden“ sind Kreisbögen, die senkrecht auf dem Rand stehen. Ein Nachteil dieses Modells ist, dass es die Längen- und Winkelmessung verkompliziert, da man eine spezielle Distanzfunktion verwenden muss.
