Géométrie hyperbolique

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Sommaire 1 Définition 2 Dynamique chaotique 3 Liens 4 Bibliographie 4.1 Ouvrages de mathématiques 4.1.1 Géométrie 4.1.2 Chaos 4.2 Références pour physiciens théoriciens 5 Lien externe

[modifier] Définition

Lobatchevsky, Klein et Poincaré ont créé des modèles de géométrie non euclidienne dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point.

Hormis le cinquième postulat, ces géomètries respectent toutes les autres définitions d'Euclide. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Il existe plusieurs modèles de géométrie hyperbolique à deux dimensions : le disque de Poincaré, le demi-plan de Poincaré, ...

[modifier] Dynamique chaotique

Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit, une propriété remarquée dès 1898 par Hadamard [HA98]. On sait aujourd'hui que ce flot est, par ordre croissant d'irrégularités [AA88], [PA91] :

• ergodique

• mélangeant (« mixing »)

• K-système (Anosov)

• C-système = bernoullien [OW73].

Lire aussi : [BV86], [CO92], [SC92].

[modifier] Liens

• Géométrie non euclidienne
• Disque de Poincaré
• Formule des traces de Selberg
• Chaos quantique
• Variété riemannienne

[modifier] Bibliographie

[modifier] Ouvrages de mathématiques

[modifier] Géométrie

• John Stillwell ; Geometry of Surfaces, Universitext, Springer-Verlag (1992), ISBN 0-387-97743-0.

• Birger Iversen ; Hyperbolic Geometry, London Mathematical Society Student Texts 25, Cambridge University Press (1992), ISBN 0-521-43528-5.

• Toshitsune Miyake ; Modular forms, Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-50268-8. Attention, ce n'est pas un livre pour débutant !

[modifier] Chaos

• [HA98] Jacques Hadamard ; Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de Mathématiques Pures & Appliquées 4 (1898) 27.

• [PA91] Pierre Pansu ; Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.

• [OW73] Donald S. Ornstein & Benjamin Weiss ; Geodesic flows are Bernouillians, Isreal Journal of Mathematics 14 (1973) 184.

• [AA88] Vladimir Arnold & André Avez ; Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley (1988).

[modifier] Références pour physiciens théoriciens

• [BV86] Nandor Balasz & André Voros ; Chaos on the pseudosphere, Physics Report 143 (1986) 109.

• [CO92] Yves Colin de Verdière ; Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'Ecole d'Eté de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.

• [SC92] Charles Schmit ; Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'Ecole d'Eté de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.

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[modifier] Lien externe

• Promenade non-euclidienne, conférence donnée par Charles Boubel, ENS Lyon.

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