השערת המספרים הראשוניים התאומים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בתורת המספרים, השערת הראשוניים התאומים קובעת שישנם אינסוף זוגות של ראשוניים תאומים, כלומר מספרים $\ p , p+2$ ששניהם ראשוניים. השערה זו היא אחת מן הבעיות הפתוחות המפורסמות בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל.

מתמטיקאים מאמינים שאכן ישנם אינסוף זוגות של ראשוניים תאומים, בגלל שורה של נימוקים היוריסטיים המבוססים על תכונות סטטיסטיות של המספרים הראשוניים, ובגלל עדויות מספריות התומכות בהשערת הארדי-ליטלווד (ראו להלן). עם זאת, להשערה עדיין אין הוכחה.

[עריכה] מספרם של הראשוניים התאומים

ידוע שאם מסכמים את ההופכיים של כל המספרים הראשוניים, $\ \sum_{p} \frac{1}{p}$ , הטור מתבדר וסכומו אינסופי. ליתר דיוק, הסכום $\ \sum_{p<x} \frac{1}{p}$ שווה בקירוב ל- $\ \log\log(x)$ . תוצאה זו מתאימה למשפט המספרים הראשוניים, שלפיו ישנם כ- $\ \frac{x}{\log(x)}$ ראשוניים הקטנים מ- $\ x$ .

בניגוד לכך, הראה ויגו ברון בשנת 1915, באמצעות פיתוח של שיטת הנפה המודרנית, שמספר המספרים הראשוניים התאומים הקטנים מ-x אינו עולה על $\ C \frac{x}{(\log x)^2}$ עבור קבוע מסוים C > 0. מכאן נובע שאם מסכמים את ההפכיים של הראשוניים התאומים בלבד, הטור מתכנס לגבול סופי, הנקרא קבוע ברון.

[עריכה] השערת הארדי-ליטלווד

בעוד שהשערת הראשוניים התאומים קובעת רק שישנם אינסוף זוגות של תאומים, השערת הארדי-ליטלווד מנבאת את ההתפלגות של מספר הזוגות, בצורה אנלוגית למשפט המספרים הראשוניים.

ממשפט המספרים הראשוניים נובע שהסיכוי של מספר טבעי להיות ראשוני, כאשר בוחרים אותו באקראי מבין המספרים מ-1 עד x, הוא $\ \frac{1}{\log x}$ . אם הראשוניות של המספר a ושל המספר a+2 היו מאורעות בלתי תלויים, אז אפשר היה לצפות שהסיכוי של a להיות הקטן מבין צמד של ראשוניים תאומים הוא $\ \frac{1}{(\log x)^2}$ . מתברר שניתוח זה הוא פשטני מדי: הוא מתעלם מכך שאם a הוא הקטן מבין ראשוניים תאומים, אז יש לו p-2 שאריות אפשריות בחלוקה במספר ראשוני קטן p, בעוד שאם a הוא ראשוני סתם, יש לו p-1 שאריות אפשריות.

ג. ה. הארדי וג'ון ליטלווד הציעו בשנת 1923 את ההשערה הבאה. נסמן ב- $\ P_2(x)$ את מספרם של הזוגות של ראשוניים תאומים. נגדיר את קבוע המספרים הראשוניים התאומים C₂ כך:

$C_2 = \prod_{p\ge 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx 0.66016118158468695739278121100145 ...$

כעת, שערו הארדי וליטלווד, $\ P_2(x) \sim \frac{2 C_2 x}{(\log x)^2}$ .

[עריכה] הכללות

[עריכה] k-יה של ראשוניים

ישנה השערה מפורסמת (הקרויה באנגלית the k-tuple conjecture), שלפיה ישנם לא רק זוגות של ראשוניים תאומים, אלא קבוצות של k ראשוניים בעלי כל מבנה-הפרשים אפשרי (פרט לאלו הנמנעים בגלל סיבות טריוויאליות, כגון a,a+2,a+4 שאחד מהם מוכרח להתחלק ב- 3). גם להשערה זו ישנה גרסה כמותית שנסחו הארדי וליטלווד.

לאחרונה (2005) הושגה התקדמות מסוימת בכיוון זה, כאשר Ben Green ו- Terrance Tao הוכיחו שישנן אינסוף שלשות של ראשוניים a,a+d,a+2d, וגם אינסוף רביעיות, וכן לסדרות בכל אורך. עם זאת נראה שהשיטות שלהם אינן מסייעות בפתרון הבעיה שהוזכרה בפסקה הקודמת.

[עריכה] הצגת 2 כהפרש

השערת הראשוניים התאומים מבקשת, בניסוח אחר, להציג את המספר 2 כהפרש של זוג ראשוניים, באינסוף דרכים. בשנת 1849 העלה אלפונז דה פוליגנק השערה כללית יותר, שלפיה כל הפרש זוגי מתקבל אינסוף פעמים. כמו השערת התאומים הראשוניים, גם השערה זו נראית סבירה על-פי העדויות המספריות.

ויגו ברון הראה, בנוסף לתוצאות שלו שהוזכרו קודם לכן, שכל מספר זוגי אפשר להציג באינסוף דרכים כהפרש של שני מספרים בעלי לכל היותר תשעה גורמים. משפט של צ'ן ז'ינג רון (Chen Jing Run) קובע שכל מספר זוגי אפשר להציג באינסוף דרכים כהפרש בין מספר ראשוני ומספר בן לכל היותר שני מחלקים ראשוניים. שיטתו של רון אפשרה לו להוכיח תוצאה דומה גם בהקשר להשערת גולדבך.

[עריכה] ההפרש בין ראשוניים עוקבים

נסמן ב- $\ d(p)$ את ההפרש בין הראשוני $\ p$ לבין הראשוני הבא אחריו. לפי השערת התאומים הראשוניים, הערך $\ d(p)=2$ אמור להתקבל אינסוף פעמים. נסמן ב- $\ \Delta$ את הגבול התחתון של הסדרה $\ \frac{d(p)}{\log(p)}$ .

ממשפט המספרים הראשוניים נובע שהערך הממוצע של $\ d(p)$ הוא $\ \log(p)$ , ובמלים אחרות $\ \Delta \leq 1$ . פול ארדש הוכיח ב-1940 ש- $\ \Delta < 1$ , וזאת לאחר שהארדי וליטלווד עצמם הראו, עוד ב- 1926, ש- $\ \Delta \leq 2/3$ אם מניחים את השערת רימן המוכללת. בעשורים הבאים הוכיחו כמה תוצאות על הערך של קבוע זה, עד שב- 1986 הראה Maier ש- $\ \Delta < 1/4$ , וזו הייתה התוצאה הטובה ביותר עד 2003.

בשנת 2005 הראו Goldston ואחרים, באמצעות וריאנט של שיטת הנפה שפיתח אטלה סלברג, שלמעשה ערכו של הקבוע הוא אפס. עם זאת, עדיין לא ידוע אפילו אם $\ d(p)<10^6$ אינסוף פעמים.