Congettura dei numeri primi gemelli
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La congettura dei numeri primi gemelli è un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri che riguarda i numeri primi. Essa fu proposta per la prima volta da Euclide intorno al 300 a.C. e afferma:
- Esistono infiniti numeri primi p tale che anche p + 2 sia un numero primo.
Due numeri primi che differiscono di 2 sono chiamati primi gemelli. Molti teorici dei numeri hanno tentato di dimostrare questa congettura. La maggior parte dei matematici ritiene che questa congettura sia vera, basandosi principalmente sull'evidenza numerica e su ragionamenti euristici che riguardano la distribuzione probabilistica dei numeri primi.
Nel 1849 de Polignac enunciò la congettura più generale che, per ogni numero naturale k, esistono infinite coppie di numeri primi che differiscano di 2k. Il caso k = 1 è la congettura dei primi gemelli.
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[modifica] Risultati parziali
Nel 1915 Viggo Brun dimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli è convergente. Questo famoso risultato fu la prima applicazione del crivello di Brun e fu una pietra miliare per lo sviluppo della moderna teoria del crivello.
Nel 1940, Erdös dimostrò che esiste una costante c < 1 e infiniti numeri primi p tali che p′ − p < c ln p, dove p′ indica il primo successivo a p. Questo risultato fu in seguito migliorato; nel 1986 Helmut Maier dimostrò che può essere usata una costante c < 0,25. Nel 2004 Daniel Goldston e Cem Yıldırım dimostrarono che la costante può essere migliorata a c = 0,085786... Nel 2005 Goldston, Pintz e Yıldırım mostrarono che si può scegliere c arbitrariamente piccola [1], [2]; infatti, se si assume la congettura di Elliott-Halberstam, essi dimostrano che esistono infiniti n tali che almeno due tra n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18, n + 20 siano primi.
Nel 1966, Chen Jingrun dimostrò che esistono infiniti numeri primi p tali che p + 2 è o un primo o un semiprimo (cioè il prodotto di due primi). L'approccio che adottò riguardava un argomento chiamato teoria del crivello, e gli consentì di trattare la congettura dei primi gemelli e la congettura di Goldbach in maniere simili.
Definendo un primo di Chen un numero primo p tale che p + 2 sia un primo o un semiprimo, Terence Tao e Ben Green dimostrarono nel 2005 che esistono infinite triplette di primi di Chen in progressione aritmetica.
[modifica] Congettura di Hardy-Littlewood
Vi è anche una generalizzazione della congettura dei gemelli, chiamata congettura di Hardy-Littlewood (da G. H. Hardy e John Littlewood), che riguarda la distribuzione dei primi gemelli, analogamente al teorema dei numeri primi. Indichiamo con π2(x) il numero di primi p ≤ x tali che p + 2 è primo. Definiamo la costante dei numeri primi C2 come
dove il prodotto si estende su tutti i numeri primi p ≥ 3. Allora la congettura afferma che
nel senso che il quoziente delle due espressioni tende a 1 quando x tende ad infinito.
Questa congettura si può giustificare (ma non dimostrare) assumendo che 1 / ln t descriva la funzione di densità della distribuzione dei primi, assunzione suggerita dal teorema dei numeri primi. L'evidenza numerica della congettura di Hardy-Littlewood è piuttosto forte.
[modifica] Il tentativo di Arenstorf
Il 26 maggio 2004, Richard Arenstorf della Vanderbilt University inviò una dimostrazione di 38 pagine della congettura dei primi gemelli. Il 3 giugno, Michel Balazard della University Bordeaux riportò che il Lemma 8 a pagina 35 è falso.[3] Com'è tipico nelle dimostrazioni matematiche, l'errore potrebbe essere riparabile o sostituito con un altro metodo. Arenstorf ritrattò la dimostrazione l'8 giugno, notando "Un grave errore è stato trovato nello scritto, in particolare, il Lemma 8 è scorretto".
[modifica] Voci correlate
[modifica] Collegamenti esterni
- (EN) There Are Infinitely Many Prime Twins - R. Arenstorf - La dimostrazione di Arenstorf, ritrattata l'8 giugno 2004.
