Ikerprím-sejtés

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az ikerprím-sejtésnek nevezik azt a sejtést, hogy végtelen sok olyan p prímszám van, amire p+2 is prím. (Mint pl. 3,5; 5,7; 17,19.) A sejtést először Euklidész fogalmazta meg i. e. 300 körül.

Ez egyike a matematika legreménytelenebb problémáinak.

Az ilyen tulajdonságú p, p+2 párokat hívják ikerprímeknek.

[szerkesztés] Részeredmények

Viggo Brun 1919-ben bebizonyította, hogy x-ig az ikerprímek száma legfeljebb

$c \frac{x}{\log^2 x}$

alkalmas c-vel, és hogy az ikerprímek reciprokösszege konvergál. A másik irányban igazolta, hogy végtelen sok olyan páratlan n szám van, hogy n és n+2 is legfeljebb 9 prímszám szorzata. 1973-ban Chen igazolta, hogy van végtelen sok olyan p prímszám, hogy p+2 prímszám vagy két prímszám szorzata.

1940-ben Erdős Pál megmutatta, hogy létezik olyan c < 1 konstans és végtelen sok p prím, hogy

q - p < c ln p,

ahol q a p-t követő prímet jelöli.

Ez az eredmény azóta már jelentősen megjavult, hiszen 1986-ban Helmut Maier megmutatta, hogy c < 0,25 konstans is biztosan létezik. 2004-ben Daniel Goldston és Cem Yıldırım belátta, hogy a c = 0,085786… konstans is megfelel a feltételeknek. Ezt 2005-ben megjavították (Goldston, Pintz és Yıldırım), belátva azt, hogy minden 0-nál nagyobb c konstans megfelel, sőt $q - p < C \sqrt{\ln p}(\ln\ln p)^2$ is igaz végtelen sokszor alkalmas C-vel.

[szerkesztés] Hardy-Littlewood-sejtés

Hardy és Littlewood 1923-ban heurisztikus gondolatmenettel azt sejtette, hogy az ikerprímszámpárok száma x-ig aszimptotikusan

$2C_2 \frac{x}{\log^2 x}$

ahol

$C_2=\prod_{p>2} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}=0,66016118158...$

az úgynevezett ikerprím-konstans.

[szerkesztés] Kapcsolódó sejtések

Ugyancsak ismert és ugyancsak reménytelen sejtés, hogy minden k pozitív természetes számra végtelen sok olyan p prímszám van, amire p+2k is prím. A legáltalánosabb sejtés szerint, ha f₁(x),...',f_n(x) pozitív főegyütthatós, irreducibilis polinomok, amelyek egész értékeket vesznek fel és szorzatuknak nincs állandó osztója, akkor végtelen sok olyan x természetes szám van, amire mindegyik polinom értéke prím. Ez magába foglalja azt a megoldatlan sejtést, hogy végtelen sok x²+1 alakú prím van és azt is, hogy végtelen sok olyan p prím van, amire 2p+1 is prím.

Lista az ikerprímekről 10 000-ig

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../i/k/e/Ikerpr%C3%ADm-sejt%C3%A9s.html"

Kategória: Számelmélet

Ikerprím-sejtés

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

[szerkesztés] Részeredmények

[szerkesztés] Hardy-Littlewood-sejtés

[szerkesztés] Kapcsolódó sejtések

Views

Navigáció

Keresés

Más nyelveken