חוקי המספרים הגדולים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

[עריכה] החוק החלש של המספרים הגדולים

הוא משפט בתורת ההסתברות, העוסק בהתנהגות של הממוצע במדגמים גדולים. לפי החוק, הסיכוי של הממוצע להיות רחוק מן התוחלת שואף לאפס כאשר גודל המדגם שואף לאינסוף. כפי שאפשר לנחש משמו, חוק זה הוא גרסה חלשה של החוק החזק של המספרים הגדולים, וקל להסיק אותו מאי שוויון צ'ביצ'ב.

תהי $\ X_1,X_2,\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי אותה תוחלת $\ \mu$ , ובעלי שונות חסומה. נסמן $\ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n$ . החוק החלש של המספרים הגדולים קובע שלכל $\ \epsilon>0$ , מתקיים $\ \lim_{n\rightarrow \infty} P(|\bar{X}_n-\mu|<\epsilon)=1$ , כלומר: ההסתברות שהממוצע יהיה רחוק מן התוחלת, שואפת לאפס.

[עריכה] החוק החזק של המספרים הגדולים

הוא משפט בתורת ההסתברות, העוסק בממוצע של מדגמים גדולים. החוק קובע שסדרת הממוצעים מתכנסת בהסתברות 1, ושגבולה הוא התוחלת. מן החוק החזק אפשר להסיק את החוק החלש של המספרים הגדולים; מצד שני, החוק החזק הוא בעצמו גרסה חלשה של משפט הגבול המרכזי.

תהי $\ X_1,X_2,\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת $\ \mu$ ושונות סופית. נסמן $\ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n$ . החוק החזק של המספרים הגדולים קובע שבהסתברות 1, מתקיים $\ \lim_{n\rightarrow \infty} \bar{X}_n=\mu$ .

המתמטיקאי יליד רוסיה אנדריי ניקולייביץ' קולמוגורוב (1903-1987), הראה שהמשפט מתקיים גם אם המשתנים אינם שווי התפלגות, ובלבד שיש להם אותה תוחלת, ושסדרת השונויות מקיימת את תנאי קולמוגורוב: הטור $\ \sum\frac{V(X_n)}{n^2}$ מתכנס.