משתנה מקרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בתורת ההסתברות, משתנה מקרי הוא ערך מספרי המותאם לאירוע אקראי כמו הטלת קוביה. לדוגמה, גובהו של אדם שנבחר באקראי הוא משתנה מקרי.

מבחינה מתמטית, משתנה מקרי מוגדר כפונקציה מדידה המתאימה למאורעות במרחב הסתברות ערכים במרחב מדיד כלשהו, בדרך כלל המספרים הממשיים עם הσ-אלגברה של בורל. במקרה כזה המשתנה המקרי נקרא משתנה מקרי ממשי.

תוצאה יחידה של משתנה מקרי נקראת מספר אקראי.

[עריכה] פונקציות התפלגות

אם נתון משתנה מקרי $\ X : \Omega \to \mathbb{R}$ המוגדר על מרחב ההסתברות $\ (\Omega ,P)$ , אפשר לשאול שאלות כמו "מה הסיכוי שהערך של $\ X$ גדול מ-2?". זו ההסתברות של המאורע $\ \left\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) > 2 \right\}$ הנכתבת בקיצור $\ P(X > 2)$ .

ההסתברויות של כל טווחי התוצאות של משתנה מקרי ממשי $\ X$ נותנות את ההתפלגות של $\ X$ . ההתפלגות מתעלמת ממרחב ההסתברות המסוים שמשמש בהגדרה של $\ X$ ונותנת רק את ההסתברות של ערכים שונים של $\ X$ . התפלגות כזו ניתנת להצגה תמיד בעזרת פונקציית הצטברות ההסתברות שלה

$\ F_X(x) = P( X \le x)$

ולעתים גם בעזרת פונקציית צפיפות הסתברות (השווה לנגזרת של פונקציית הצטברות ההסתברות בכל נקודה בה קיימת הנגזרת). במונחי תורת המידה, אנו משתמשים במשתנה המקרי $\ X$ כדי לבצע push-forward של המידה $\ P$ על $\ \Omega$ , למידה $\ F$ על הממשיים. מרחב ההסתברות המקורי $\ \Omega$ , הוא מכשיר טכני להבטחת קיומם של משתנים מקריים, ולפעמים לבנייתם. בפועל, לעתים קרובות נפטרים לגמרי מהמרחב $\ \Omega$ , ופשוט מגדירים מידה על הממשיים כך שמידת הישר הממשי כולו תהייה 1, כלומר עובדים עם התפלגויות במקום עם משתנים מקריים.

[עריכה] פונקציות של משתנים מקריים

אם נתון משתנה מקרי $\ X$ על $\ \Omega$ , ופונקציה מדידה $\ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , אז $\ Y = f(X)$ יהיה גם הוא משתנה מקרי על $\ \Omega$ , כיוון שהרכבה של פונקציות מדידות היא פונקציה מדידה. אותו תהליך שמאפשר לעבור ממרחב ההסתברות $\ (\Omega ,P)$ ל- $\ (R ,dF_{x})$ יכול לשמש לקבלת ההתפלגות של $\ Y$ . פונקציית הצטברות ההסתברות של Y היא

$\ F_Y(y) = \mbox{P}( f(X) \le y )$

[עריכה] דוגמה

יהי $\ X$ משתנה מקרי ונגדיר $\ Y = X^2$ משתנה מקרי חדש. אז

$\ F_Y (y) = \mbox{Prob}( Y \le y) = \mbox{Prob}( X^2 \le y)$

אם y < 0 אזי ברור ש $\ \mbox{Prob}( Y \le y) = 0$ .
אם $\ y \ge 0$ אזי

$\ F_Y (y) = \mbox{Prob}( X^2 \le y) = \mbox{Prob}( -\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$

[עריכה] התוחלת של משתנה מקרי

התוחלת של משתנה מקרי היא, למעשה, הכללה של ממוצע חשבוני (או ממוצע חשבוני משוקלל).

התוחלת של משתנה מקרי $\ X$ שפונקציית הצטברות ההסתברות שלו $\ F$ היא:

$\int_{-\infty}^\infty x \, dF(x)$

האינטגרל הוא אינטגרל סטילטיס (רימן-סטילטיס או לבג-סטילטיס הזהים במקרה זה מאחר שפונקציה הצטברות ההסתברות היא פונקציה מונוטונית עולה).

חשוב לציין כי קיימים מקרים בהם האינטגרל אינו מתכנס ואז לא קיימת התוחלת (אם כי, כאשר הגבול של $\int_{-t}^t x \, dF(x)$ (כאשר t שואף לאינסוף) הוא אינסוף, אומרים שהתוחלת היא אינסוף).

אם קיימת פונקציית צפיפות ההסתברות f, ניתן להגדיר את התוחלת בהגדרה שקולה, בעזרת אינטגרל לבג, כלהלן:

$\int_{-\infty}^\infty x \ f(x)\, dx$

[עריכה] מומנטים

ההתפלגות של משתנה מקרי מאופיינת לעתים קרובות על ידי מספר קטן של פרמטרים, שיש להם גם משמעות מעשית. לדוגמה, לפעמים מספיק לדעת מה "הערך הממוצע" של משתנה מקרי. ערך זה מבוטא על ידי מושג התוחלת. יש לציין כי לא לכל משתנה מקרי קיימת התוחלת (במקרים אלה, האינטגרל המגדיר את התוחלת אינו מתכנס ובחלק מהם התוחלת נקראת אינסופית).

התוחלת היא מקרה פרטי של סוג פונקציות, המוגדרות על משתנים מקריים ונקראות מומנטים.

המומנט מסדר $\ n$ (או המומנט ה- $\ n$ ) של משתנה מקרי $\ X$ סביב הנקודה (או המספר) $\ a$ הוא התוחלת של המשתנה המקרי $\ (X-a)^n$ . כמובן, התוחלת של משתנה מקרי היא המומנט מסדר $1$ שלו סביב ה- $0$ .

התוחלת היא פונקציה לינארית, אולם $\ \mbox{E}f(X)$ אינו שווה בהכרח ל- $\ \ f(\mbox{E}X)$ כאשר f פונקציה כללית יותר.

אחרי שמוצאים את "הערך הממוצע", אפשר לשאול עד כמה ערכי $\ X$ רחוקים ממנו. תשובה מספרית מקובלת ניתנת על ידי סטיית התקן (שהיא השורש הריבועי של השונות) של המשתנה המקרי. קיימים ערכים רבים אחרים היכולים לתת תשובה לשאלה, למשל, כל אחד מן המומנטים מסדר זוגי של המשתנה המקרי סביב התוחלת וכן ממוצע הערכים המוחלטים של הסטיות מן הממוצע (התוחלת של המשתנה המקרי $\ |X-EX|$ ).