טנזור לוי-צ'יויטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסגנון המקובל בוויקיפדיה.
הסיבה שניתנה לכך היא האינדקסים בנוסחאות לא ברורים. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

טנזור לוי-צ'יויטה הוא סימון שימושי במתמטיקה ובפיזיקה. הוא מסומן $\ \epsilon_{ijk}$ ומוגדר באופן הבא:

$\ \epsilon_{ijk} = 0$ אם קיימים זוג אינדקסים זהים.
$\ \epsilon_{ijk} = +1$ אם האינדקסים הם תמורה מעגלית של xyz (כלומר, הם מהצורה: xyz, yzx, zxy ).
$\ \epsilon_{ijk} = -1$ אם האינדקסים הם תמורה לא מעגלית של xzy (כלומר, הם מהצורה: xzy , zyx , yxz ).

הטנזור קרוי על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יויטה.

[עריכה] תכונות

אפשר להכליל את הגדרת טנזור לוי-צ'יויטה ל- n ממדים (כלומר: n אינדקסים) באופן מיידי:

הוא שווה ל 1+ אם האינדקסים הם תמורה זוגית של $\ \left( 1, 2, 3 , \cdots , n \right)$ .
הוא שווה ל 1- אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של $\left( 1, 2, 3 , \cdots , n \right)$ .
הוא שווה ל 0 אם יש זוג אינדקסים זהים.

טנזור זה הוא טנזור אנטי-סימטרי בהחלט, שכן כל חילוף בזוג האינדקסים גורם לשינוי סמן וכמו כן - כל ביטוי בעל לפחות זוג אינדקסים זהים, מתאפס.

כמו כן, מקיים טנזור זה מספר זהויות חשובות:

$\sum_{i=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$
$\sum_{i,j=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$

הזהות הבאה נכונה לכל ממד:

$\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \epsilon_{ijk\dots}\epsilon_{ijk\dots} = n!$

[עריכה] שימושים

טנזור זה שימושי ביותר באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי.

טנזור זה הוא בעל חשיבות רבה, שכן באמצעותו אפשר להגדיר מכפלה וקטורית ותכונות המתבססות על שלשה ימנית (כלל יד ימין). הגדרת המכפלה הווקטורית באמצעות טנזור היא על ידי

$\mathbf{a \times b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k$