לגרנז'יאן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

לגרנז'יאן (או לגרנג'יאן) הוא פונקציה המתארת מערכת פיזיקלית (בדרך כלל חסרת חיכוך), שבעזרתה ניתן לרשום את משוואות התנועה של המערכת. משוואות אלו נקראות משוואת אוילר-לגרנז', והן שקולות לחוק השני של ניוטון. יתרונו של הפורמליזם הלרנז'יאני בכך שהוא מאפשר גזירה פשוטה יותר של משוואות התנועה, ומדגיש את חשיבות הסימטריה של המערכת לגבי אופן התנהגותה. פורמליזם אלגנטי זה פותח על ידי ז'וזף לואי לגראנז' במאה ה-19.

הלגרנז'יאן הוא פונקציה של הזמן, של קואורדינטות מוכללות ושל המהירויות. הלגרנז'יאן אינו יחיד: ישנן מספר פונקציות שמתארות את אותה המערכת ומקיימות את משוואת אוילר-לגרנז'. בניגוד להמילטוניאן הלגרנז'יאן אינו מכמת ערך פיזיקלי כלשהוא, אלא מהווה תיאור מתמטי של המערכת. הדרך הפשוטה ביותר למצוא לגרנז'יאן של מערכת פיזיקלית היא בעזרת אנרגיה קינטית T ואנרגיה פוטנציאלית U של המערכת: $L(q,\dot{q},t)=T(q,\dot{q},t)-U(q,\dot{q},t)$ כאן $\ q$ היא קבוצת קואורדינטות מוכללות ( $\ q_1,q_2...q_n$ ) ו $\ \dot{q}$ הן נגזרותיהן לפי הזמן (מהירויות מוכללות)

את משוואות התנועה מקבלים מתוך הלגרנז'יאן באמצעות משוואת אוילר-לגרנז': $\frac {d}{dt} \left( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}} \right)=\frac {\partial L}{\partial q}$
לעתים קרובות משמש הלגרנז'יאן בסיס למעבר לפורמליזם אחר, למשל המילטוניאן או משוואת המילטון-יעקובי.

הלגרנז'יאן ומשוואת אוילר-לגרנז' נובעים מעקרון הפעולה המינימלית בחשבון וריאציות או מעיקרון ד'אלמבר.

[עריכה] דוגמה לשימוש בלגרנז'יאן

מטוטלת מתמטית

דוגמה נפוצה לשימוש בלגרנז'יאן היא פתרון של מטוטלת פשוטה. נבחר כקואורדינטה מוכללת את $\ \theta$ , זווית מוט המטוטלת מן האנך. האנרגיה הקינטית של המטוטלת תהיה $T= \frac {1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2$ והאנרגיה הפוטנציאלית (כתוצאה מהכבידה): $\ U = - m g l \cos \theta$ . הלגרנז'יאן יהיה לכן

$L = T - U = \frac {1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos \theta$ ומשוואת אוילר-לגרנז':
$\frac {d}{dt} \left( \frac {\partial L}{\partial \dot {\theta}} \right) = \frac {d}{dt} (m l^2 \dot{\theta} ) = m l^2 \ddot{\theta} = \frac {\partial L}{\partial \theta} = - m g l \sin \theta$ .

את $\ \sin \theta$ מקרבים בקירוב ראשון ל- $\ \theta$ ומקבלים את המשוואה הדיפרנציאלית של המטוטלת: $\ddot {\theta} = - \frac {g}{l} \theta$ . כדאי לשים לב שגם $L = \frac {1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos \theta + \dot {\theta} \theta$ הוא לגרנז'יאן של המערכת כי $\frac {d}{dt} \left( \frac {\partial L}{\partial \dot {\theta}} \right) = \frac {d}{dt} (m l^2 \dot{\theta} + \theta ) = m l^2 \ddot{\theta} + \dot {\theta} = \frac {\partial L}{\partial \theta} = - m g l \sin \theta + \dot {\theta}$ ומקבלים את אותה משוואת התנועה.