חשבון וריאציות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

חשבון וריאציות הנו שיטת אופטימיזציה, שפותחה בשלהי המאה ה־17 על ידי ניוטון, האחים יוהן ויעקב ברנולי, לייבניץ, ומאוחר יותר על ידי לופיטל, אוילר, לגראנז' ואחרים. ניתן לראות שיטה זו כהכללה של פעולת הנגזרת עבור פונקציונלים. בשונה מפונקציה, המעתיקה מספר למספר, פונקציונל הנו העתקה המעבירה פונקציה למספר:

$\ F[\vec{f}(s)] \to C$

כאשר $\ \vec{f}(s)$ היא פונקציה (באופן כללי) וקטורית של המשתנה $\,s$ , ו- $\ C$ הוא מספר ממשי או מרוכב.

דוגמה פשוטה לפונקציונל, מתחום האופטיקה, היא הזמן שלוקח לקרן לעבור בין שתי נקודות דרך מסלול כלשהו במרחב. המסלול במקרה זה מיוצג על ידי $\ \vec{f}(s)=( x(s),y(s),z(s))$ כאשר $\ (x,y,z)$ הן קואורדינטות ו- $\ s$ הוא פרמטר כלשהו המגדיר את המיקום לאורך המסלול, למשל אורך הקשת או הקואורדינטה לאורך אחד הצירים. לכן אם מהירות הגל בנקודה $\ \vec{r}=(x,y,z)$ במרחב היא $\ c(\vec{r})$ , ו- $\,s$ מיצג את אורך הקשת, אזי זמן המעבר, $\ T$ , בין שתי הנקודות נתון בביטוי:

$\ T=\int \frac{ds}{c\left( \vec{r}(s) \right)}$

מכאן ברור שכל מסלול של הקרן נותן, בדרך כלל, ערך שונה של זמן המעבר $\ T$ , וחשבון הוריאציות מאפשר לנו לחשב מהו המסלול עבורו זמן המעבר מינימלי (או באופן מדויק יותר אקסטרמלי), כשם שפעולת הנגזרת מאפשרת למצוא את נקודות האקסטרמום של הפונקציה. לפי עקרון פרמה המסלולים בהם הקרן אמנם עוברת הם המסלולים עבורם $\ T$ מינימלי, ולכן חשבון הוריאציות הנו הדרך לחישוב המסלולים של קרן אור בתווך כלשהו.

דוגמה נוספת, אשר הייתה אחד הזרזים להתפתחות התחום, היא בעיית הברכיסטוכרון (המושג ברכיסטוכרון נגזר מהמילה היוונית ברכיסטוס שפרושה "הקצר ביותר"). הבעיה מוגדרת באופן הבא:

נתון חלקיק בשדה גרביטציה אחיד $\ g$ בכיוון $\ y$ . בהנחה שבתחילת דרכו החלקיק נמצא בראשית הצירים במנוחה, מהו המסלול $\ y(x)$ עבורו זמן המעבר לנקודה מרוחקת (נמוכה יותר) הוא מינימלי?

כיוון שהקואורדינטה $\ y$ מציינת את גובה החלקיק, אזי שימור אנרגיה קובע שמהירותו היא $\ v=\sqrt{-2 gy}$ . לכן פונקציונל הזמן במקרה זה הנו:

$\ T=\int \frac{\sqrt{1+(\dot{y}(x))^2}}{ \sqrt{-2gy(x)}}\, dx$

כאשר $\ y(x)$ היא צורת המסלול העובר בין ראשית הצירים והנקודה $\ (x,y)$ , ו- $\ \dot{y}(x)=dy(x)/dx$ .

כמו בשתי הדוגמות לעיל, בעיות רבות בפיזיקה ניתנות לתיאור בעזרת פונקציונל מהצורה:

$\ F[\vec{f}(s)]=\int L\left( \vec{f}(s),\dot{\vec{f}}(s)\right)\, ds$

כעת, בהנחה שנמצא מסלול $\ \vec{f}_0(s)$ עבורו $\ F[\vec{f}_0(s)]$ מינימלי, אזי שינויים (וריאציות) שרירותיים של המסלול, קטנים מספיק, $\ \vec{f}(s)=\vec{f}_0(s)+ \delta\vec{f}(s)$ לא ישנו את ערך הפונקציונל, בדיוק כפי שתזוזה קטנה מנקודת מינימום של פונקציה אינה משנה את ערכה (עד סדר ראשון בתזוזה). לכן המשוואה הקובעת את צורת המסלול האקסטרמלי היא:

$\ F[\vec{f}(s)+\delta \vec{f}(s)]-F[\vec{f}(s)] =0$

כאשר האפס באגף שמאל משמעותו אבר מסדר שני בווריאציה $\delta\vec{f}(s)$ . תנאי זה, כפי שכבר הזכרנו, צריך שיתקיים עבור וריאציות שרירותיות, וניתן לבטא אותו בעזרת משוואה דיפרנציאלית הנקראת משוואת אוילר־לגראנז':

$\ \frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{f}}} \right)=\frac{ \partial L}{\partial \vec{f}}$

משוואות אוילר־לגראנז' הנגזרות מעקרון הפעולה המינימלית שקולות לחוקי ניוטון, ובמקרה של עקרון פרמה הן מגדירות את המסלולים בהם עוברים קרני האור. פתרון משוואות אוילר־לגראנז' עבור בעית הברכיסטוכרון נותן את עקום הציקלואידה.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%97/%D7%A9/%D7%91/%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F_%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%90%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA.html

קטגוריות: מתמטיקה | אנליזה מתמטית

חשבון וריאציות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות