מיוריזציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסגנון המקובל בוויקיפדיה.
לצורך זה ייתכנו סיבות אחדות: פגמים טכניים כגון מיעוט קישורים פנימיים, סגנון הטעון שיפור או צורך בהגהה. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

מיוֹריזציה, מג'וֹריזציה או מיוּר הוא יחס בין שני גדלים מתמטיים (קבוצות, פונקציות, אופרטורים וכו') בהם גודל אחד "חוסם" את השני ובמובן מסוים "גדול יותר" ממנו.

[עריכה] הגדרה פורמלית

בהינתן שתי קבוצות של מספרים ממשיים $A,B \in \mathbb{R}^d$ נאמר כי $A$ ממייר את (או גדול על) $B$ אם

$\forall 1 \leq k \leq d, \ \ : \ \ \sum_{i=1}^k a_i^{\downarrow} \geq \sum_{i=0}^k b_i^{\downarrow}$

כאשר $a_i^{\downarrow}$ ו- $b_i^{\downarrow}$ הם האיברים של $A$ ו- $B$ בהתאמה, ממוינים לפי סדר יורד בגודל. באופן שקול נאמר כי $B$ קטן על $A$ .

להגדרה זו מספר יישומים, בעיקר בתורת הטורים ובאלגברה לינארית:

בהינתן שני וקטורים ממשיים $v,v' \in \mathbb{R}^d$ נאמר כי $v$ גדול על $' v$ אם אוסף הרכיבים של $v$ גדול על זה של $' v$ . במקרה זה ניתן להראות כי קיימת קבוצת הסתברויות $(p_1,p_2,\ldots,p_d), \sum_{i=1}^d p_i =1$ וקבוצת פרמוטציות $(P_1,P_2,\ldots,P_d)$ כך שמתקבל $v'=\sum_{i=1}^d p_i P_i v$ . לחילופין ניתן להראות כי קיימת מטריצה סטוכסטית כפולה $D$ כך שמתקיים $v' = v D$ .

בהינתן שני אופרטורים הרמיטיים $H$ ו- $' H$ נאמר כי $H$ גדול על $' H$ אם אוסף הערכים העצמיים של $H$ גדול על זה של $' H$

[עריכה] מקורות

Quantum Computation and Quantum Information, (2000) Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, Cambridge University Press
Majorization and its applications to quantum information theory, (1999) Michael A, Nielsen, personal notes
Majorization in Mathworld