משפט הסינוסים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משפט הסינוסים עבור משולש נתון קובע כי חילוק צלע בסינוס הזווית שמולה, שווה לחילוק של כל צלע אחרת בסינוס הזווית שמול הצלע האחרת, ויחס זה שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש. משפט הסינוסים מבוטא בנוסחה הבאה:

${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R$

כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם.

[עריכה] הוכחה

שטח המשולש הגדול שווה ל-

$\ S = \frac{1}{2} c \cdot h = \frac{1}{2} c b \sin A$

אבל באותו אופן שווה גם ל-

$\ S = \frac{1}{2} c \cdot h = \frac{1}{2} c a \sin B$

נשווה בין הביטויים, נצמצם ב c/2 ונקבל ש-

$\ b \sin A = a \sin B$

או

$\ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

כעת, נסתכל במשולש DBC הנמצא בתוך המעגל החוסם. במשולש ישר זווית זה

$\ a = 2R \sin D$

אבל זווית D שווה לזווית A כי הן נשענות על אותה קשת, לכן

$\ a = 2R \sin A$

או

$\ \frac{a}{ \sin A} = 2R$

כנדרש.

נשים לב, שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה

$\ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה A הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה B.

[עריכה] ראו גם

משפט הקוסינוסים
רשימת נוסחאות בטריגונומטריה

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%9E/%D7%A9/%D7%A4/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%94%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%99%D7%9D.html

קטגוריה: טריגונומטריה

Views

קהילה

חיפוש

שפות אחרות

דף זה שונה לאחרונה בתאריך 01:50, 12 באפריל 2007 על־ידי משתמש ויקיפדיה Yonidebot. מבוסס על העבודה של משתמש(י) ויקיפדיה Thijs!bot, MathKnight, Hbk3, Noaya.v, YurikBot, Zwobot, Jobnikon, גילגמש, ערן, המממ וגם קראטון וגם משתמש(ים) אנונימי(ים) של ויקיפדיה.
הטקסט מוגש בכפוף ל־GNU Free Documentation License.
יוצרי הערך מפורטים בדף "גרסאות קודמות". בעלי זכויות היוצרים בתמונה מופיעים בדף התמונה.
אודות ויקיפדיה
הבהרה משפטית