סמל כריסטופל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

סמל כריסטופל ( $\ \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho}$ ) הוא קשר לוי-צ'יויטה המהווה מקרה פרטי של קשר אפיני. לאיברי הקשר קוראים סמלי כריסטופל. חשוב לציין שסמל כריסטופל איננו טנזור.

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 נגזרת קו-וריאנטית
3 בפיזיקה
4 ראו גם

[עריכה] הגדרה

סמל כריסטופל הוא קשר אפיני נובע מכך שבמערכת קואורדינטות כללית, וקטורי הבסיס אינם קבועים וכאשר גוזרים וקטור לא מספיק לגזור רק את רכיבי הווקטור אלא יש לגזור גם את וקטורי הבסיס. הקשר מבטא עובדה זו וסמלי כריסטופל מוגדרים להיות המקדמים של הצירוף הלינארי בוקטורי הבסיס של נגזרת של וקטור בסיס, כלומר:

$\nabla_\mu \vec{e}_\nu=\Gamma_{\mu \nu}^\rho \vec{e}_\rho$

קשר זה מאופיין באופן יחיד באמצעות שתי דרישות:

הקשר קומפטיבילי עם המטריקה (כלומר: עם הטנזור המטרי של רימן). כלומר: ניתן להחליף בסדר בין גזירה קו-ואריאנטית והעלאה והורדה של אינדקסים באמצעות המטריקה. מתמטית, זה מתבטא במשוואה $\ \nabla_\rho g_{\mu \nu} = 0$ .
הקשר הוא חסר פיתול. כלומר: ניתן להחליף את סדר הגזירה בנגזרות קו-ואריאנטיות מעורבות. מתמטית, זה מתבטא במשוואה $\ (\nabla_\mu \nabla_\nu - \nabla_\nu \nabla_\mu ) \phi = 0$ . מכך נובע שסמל כריסטופל סימטרי בשני האינדקסים התחתונים שלו $\ \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} = \Gamma^{\mu}_{\rho \sigma}$ .

משתי דרישות אלה ניתן להראות שסמל כריסטופל נתון על ידי הצירוף הבא של הנגזרות הראשונות של הטנזור המטרי:

$\ \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} = \frac{1}{2} g^{\mu \nu} \left( \frac{\partial g_{\sigma \nu}}{\partial x^{\rho}} + \frac{\partial g_{\rho \nu}}{\partial x^\sigma} - \frac{\partial g_{\sigma \rho}}{\partial x^\nu} \right)$

[עריכה] נגזרת קו-וריאנטית

באמצעות קשר כריסטופל אפשר להגדיר את הנגזרת הקו-ואריאנטית של טנזור:

$\ \nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^{\nu}_{\mu \rho} A^\rho$
$\ \nabla_\mu B_\nu = \partial_\mu B_\nu - \Gamma^{\rho}_{\mu \nu} B_\rho$
$\ \nabla_\mu C^\nu_\sigma = \partial_\mu C^\nu_\sigma + \Gamma^\nu_{\mu \rho} C^\rho_\sigma - \Gamma^\rho_{\mu \sigma} C^\nu_\rho$

לנגזרת הקו-ואריאנטית שתי תכונות עיקריות:

נגזרת קו-ואריאנטית של טנזור גם היא טנזור.
וקטור שנשאר קבוע בטרנספורט מקבילי לאורך עקומה מאופיין בכך שהנגזרת הקו-ואריאנטית שלו לאורך העקומה שווה לאפס.

[עריכה] בפיזיקה

סמל כריסטופל מופיע בתורת היחסות הכללית והוא מבטא את הכוח שיוצר שדה גרביטציה. השפעתו על תנועתו של גוף מתבטאת בכך שגוף במרחב עקום נע בגאודזות באותו מרחב והמשוואה הגאוזדית כוללת בתוכה גם את סמל כריסטופל ומושפעת ממנו

$\ \frac{ d^2 x^\mu}{d \tau ^2} + \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} \frac{ dx^\sigma}{d \tau} \frac{ dx^\rho}{d \tau} = 0 \quad ; \quad d \tau ^2 = - g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$