עקומה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, עקומה היא קו חד ממדי ורציף. בצורה אינטואיטיבית, עקומה היא קו ישר שהופעלו עליו פעולות של עיקום ופיתול, מבלי "לקרוע" אותו. עקומות מופיעות ברבים מתחומי המתמטיקה, ובפרט בגאומטריה, אנליזה מתמטית וטופולוגיה.

דוגמאות פשוטות לעקומות הן קו ישר, מעגל, גרף של פונקציה רציפה וכדומה.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
- 1.1 עקומה פשוטה
- 1.2 עקומה סגורה
2 ראו גם

[עריכה] הגדרה פורמלית

כאשר באים להגדיר עקומה בצורה פורמלית, הדרך הטובה ביותר לעשות זאת היא באמצעות פונקציה רציפה שתחומה הוא קטע של המספרים הממשיים, וטווחה הוא מרחב טופולוגי כלשהו. בצורה זו נשמרת התמונה האינטואיטיבית של "הקו הישר שאנו מעקמים ומפתלים", ויחד עם זאת מושג תיאור מדויק של העקומה. מכאן שמבחינה פורמלית, עקומה היא פונקציה.

יהא $\ I\subseteq \mathbb{R}$ קטע על הישר הממשי. נקרא לפונקציה $\ \gamma:I\rarr X$ עקומה אם $\ X$ הוא מרחב טופולוגי כלשהו, ו- $\ \gamma$ היא פונקציה רציפה.

[עריכה] עקומה פשוטה

אם $\ \gamma$ חד-חד ערכית נאמר שהיא עקומה פשוטה. מבחינה אינטואיטיבית, הכוונה היא שהעקומה לא חותכת את עצמה, לא חוזרת על עצמה, כלומר "אין בה לולאות" וגם אין "התקדמות אחורה", כלומר מצב בו העקומה נעה לאחור על עצמה.

[עריכה] עקומה סגורה

אם $\ I=[a,b]$ , כלומר הוא קטע סגור וחסום, ואם $\ \gamma(a)=\gamma(b)$ נאמר שהעקומה סגורה (שני הקצוות שלה מחוברים). אם היא חד חד ערכית פרט לקצוות, נאמר שהיא פשוטה וסגורה. ניתן לראות עקומה כזו כתמונה של מעגל היחידה במישור. עקומה שכזו מכונה לעתים קרובות עקומת ז'ורדן ויש לה שימושים רבים במתמטיקה.