פונקציה קבועה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פונקציה קבועה היא פונקציה שמקבלת את אותו ערך בכל איבר של תחום הגדרתה. ניתן לבטא את העובדה הזו על ידי הנוסחה: $\ f:A \to B \ \ ,\forall x_1 , x_2 \in A \ f(x_1) = f(x_2)$ או $\ f(x)=C$ .

דוגמה: הפונקציה $\ f(x) = 1$ היא פונקציה קבועה. לעומת זאת, הפונקציה $\ f(x)=x$ מאוסף המספרים הממשיים לעצמו איננה קבועה משום שלמשל $\ f(0) \ne f(1)$ .

הפונקציה הריקה, כלומר הפונקציה שהתחום שלה הוא הקבוצה הריקה, היא פונקציה קבועה, באופן ריק, משום שאין x, y המקיימים $\ f(x) \ne f(y)$ . יש שמגדירים פונקציה קבועה ככזו שהתחום שלה אינו ריק.

[עריכה] תכונות

כאשר f : A → B היא פונקציה קבועה, אזי לכל שתי פונקציות g, h : C → A, מתקיים, ביחס לפעולת ההרכבה (שתסומן o ‏): f o g = f o h.

עבור פונקציות ממשיות המוגדרות על קבוצה פתוחה וקשירה, פונקציה היא קבועה אם ורק אם היא גזירה ונגזרתה שווה ל- 0 בכל נקודה.

באופן כללי יותר, פונקציה של הרבה משתנים, כלומר פונקציה קבוצה פתוחה וקשירה במרחב האוקלידי ה-n ממדי, $\ \mathbb{R}^n$ , לממשיים היא קבועה אם ורק אם הגרדיאנט שלה מתאפס בכל התחום.