רציפות (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

רציפות היא תכונה יסודית של פונקציות בין מרחבים טופולוגיים. תכונה זו מהווה הכללה למושג הרציפות של פונקציות ממשיות.

תוכן עניינים

1 מבוא
2 הגדרה
3 דוגמאות
4 תכונות
- 4.1 משפט
5 ראו גם

[עריכה] מבוא

הדוגמה החשובה ביותר לרציפות היא זו של פונקציות ממשיות; עבורן, פונקציה רציפה בנקודה $\ x_0$ היא פונקציה שהערכים שלה בנקודות קרובות ל- $\ x_0$ קרובים לערך שלה בנקודה עצמה. רעיון זה, למרות שהוא מנוסח בלשון של 'קרבה' שיש לה משמעות רק במרחב מטרי, ניתן להכללה למרחב טופולוגי כלשהו, אם נחליף את האמירה "שתי נקודות הן 'קרובות'" בקיום "הרבה" קבוצות פתוחות שמכילות את שתיהן. הכללת מושג הרציפות למרחב טופולוגי כלשהו נעשית באופן דומה להכללת מושג הגבול ממרחב מטרי למרחב טופולוגי כלשהו.

[עריכה] הגדרה

יהיו $\ X,Y$ מרחבים טופולוגיים, ו- $\ f:X\rightarrow Y$ פונקציה. אומרים ש- $\ f$ רציפה בנקודה $\ x_0\in X$ , אם לכל קבוצה פתוחה $\ f(x_0)\in U\subseteq Y$ קיימת קבוצה פתוחה $\ x_0 \in V \subseteq X$ , כך ש- $\ f(V) \subseteq U$ .

הפונקציה רציפה סתם, או רציפה בכל המרחב, אם היא רציפה בכל נקודה $\ x_0 \in X$ . ניסוח שקול וקצר יותר:

$\ f:X\rightarrow Y$ היא פונקציה רציפה אם לכל קבוצה פתוחה $\ U\subseteq Y$ , הקבוצה $\ f^{-1}(U) = \{x \in X : f(x)\in U\}\subseteq X$ פתוחה.

[עריכה] דוגמאות

לדוגמה, באנליזה מתמטית של פונקציות ממשיות (חדו"א), הקבוצות שאנו משתמשים בהם כדי להגדיר את הרציפות של פונקציה בנקודה הם סביבות של הנקודה, או ליתר דיוק: כדור פתוח ברדיוס אפסילון וכדור פתוח ברדיוס דלתא.

קל לראות, שאם Y היא בעלת טופולוגיה טריוויאלית, או ש- X היא בעלת טופולוגיה דיסקרטית, אז כל פונקציה $\ f: X\rightarrow Y$ רציפה.

[עריכה] תכונות

התכונה הדואלית לרציפות היא היות הפונקציה פונקציה פתוחה, דהיינו פונקציה כזו שלכל $\ V \subseteq X$ פתוחה, הקבוצה $\ f(V)\subseteq Y$ גם היא פתוחה. באופן דומה מגדירים גם פונקציה סגורה. יש לציין שלו היינו מחליפים את הקבוצות הפתוחות בהגדרת הרציפות בקבוצות סגורות, הייתה מתקבלת אותה הגדרה. לעומת זאת, פונקציה פתוחה אינה בהכרח סגורה, ולהיפך.

פונקציה הפיכה (כלומר, שהיא חד-חד-ערכית וגם על), שגם היא וגם ההפכית לה שתיהן רציפות, נקראת הומיאומורפיזם בין המרחבים הטופולוגיים.

[עריכה] משפט

התכונות הבאות לגבי העתקה $\ f: X \to Y$ בין שני מרחבים טופולוגים הן שקולות:

ההעתקה $\ f$ היא פונקציה רציפה.
התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת בסיס של הטופולוגיה ב- $\ Y$ .
התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"קבוצה סגורה".
$\ f$ רציפה נקודתית בכל $\ x$ במרחב. כלומר, לכל $\ x$ , לכל סביבה של $\ f(x)$ קיימת סביבה $\ W$ של $\ x$ כך ש- $\ f(W) \subset V$ .
לכל $\ A \subset X$ מתקיים: $\ f(\bar{A}) \subset \overline{ f(A) }$ .