שורש ריבועי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

שורש ריבועי של מספר ממשי a כלשהו הוא מספר, שאם מכפילים אותו בעצמו מקבלים את a. הפעולה החישובית של מציאת השורש הריבועי נקראת הוצאת שורש ריבועי. מכל השורשים, השורש הריבועי נקרא דווקא כך בגלל משמעותו הגאומטרית: אם a הוא שטחו של ריבוע, אז אורך צלעו של הריבוע שווה לשורש הריבועי של a. כאשר ההקשר ברור, השורש הריבועי מכונה גם סתם שורש.

למספר חיובי יש שני שורשים ריבועיים ממשיים: למשל, למספר 4 יש את השורשים 2 ומינוס 2, אשר כל אחד בריבוע מחזיר 4. על כן, כאשר מדובר על השורש הריבועי של מספר הכוונה היא בדרך כלל לשורש החיובי שלו. השורש הריבועי מסומן כך: $\sqrt{a}$ .

למספרים ממשיים שליליים אין שורש ריבועי ממשי (מכיוון שכל מספר ממשי שמוכפל בעצמו נותן תוצאה חיובית, בין אם הוא שלילי ובין אם הוא חיובי). המספרים המרוכבים פותחו בין היתר על מנת לתת מענה לבעייה זו: במספרים המרוכבים יש שורש לכל מספר (ממשי או מרוכב).

תוכן עניינים

1 תכונות
- 1.1 השורש הממשי
- 1.2 השורש המרוכב
2 ראו גם

[עריכה] תכונות

[עריכה] השורש הממשי

הפונקציה $\ f(x)=\sqrt{x}$ , שנקראת פונקציית השורש, היא פונקציה חד חד ערכית ועל מהמספרים הממשיים האי שלילים לעצמם. פונקציה זו היא רציפה בכל מקום שבו היא מוגדרת, וגזירה עבור כל מספר חיובי. בנקודה $\ x=0$ פונקציית השורש לא גזירה (גם לא באופן חד צדדי), והנגזרת שלה שואפת לאינסוף, כאשר המשתנה שואף לאפס.
פונקציית השורש משמרת את פעולת הכפל ואת פעולת החילוק כלומר:

$\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ לכל $x , y \ge 0$

$\frac{\sqrt{x} }{\sqrt{y} } = \sqrt{\frac{x}{y}}$ לכל $\ x \ge 0 \ \ , y > 0$

לעומת זאת, פונקציית השורש בדרך כלל לא משמרת חיבור כלומר:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} \ne \sqrt{x+y}$

קל לראות ששיוויון מתקבל אם ורק אם $\ xy=0$ כלומר אחד המספרים, או שניהם הוא אפס.

[עריכה] השורש המרוכב

במספרים המרוכבים, לכל מספר יש שני שורשים. בניגוד למספרים הממשיים, במישור המרוכב אין דרך להגדיר מספר חיובי ולכן לא ניתן להחזיר תמיד את "השורש החיובי" כמו שאפשר לעשות במספרים הממשיים, ולכן הבחירה איזה שורש מהשורשים מיוצג בפונקציה היא שרירותית. ההגדרה המקובלת לפונקציית השורש במספרים המרוכבים היא באמצעות פונקציות האקספוננט והלוגריתם הטבעי המרוכבות:

$\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2} ln z}$

הגדרה זו למעשה מעבירה את נקודת ההחלטה לבחירת הענף של הלוגריתם, כאשר שינוי הענף יוסיף $i π$ למעריך החזקה ולכן יכפיל את השורש ב 1-.

במספרים המרוכבים, פונקציית השורש לא רציפה בכל המישור, כיוון שפונקציית הלוגריתם איננה רציפה. מהסיבה הזו הנוסחאות הרגילות של מכפלת שורשים ומנת שורשים לא בהכרח מתקיימות. לדוגמה:

$\ 1= \sqrt{1} = \sqrt{ -1 \cdot -1} \ne \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = -1$