Gauss-egész

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Gauss-egészek az a+bi alakú komplex számok, ahol a és b egészek (tehát a komplex számsík rácspontjai). Körükben a közönséges egészekhez hasonló számelmélet építhető ki.

Tartalomjegyzék

1 Műveletek
2 Norma
3 Egységek, asszociáltak, prímelemek
4 Egyértelmű prímfaktorizáció
5 Lásd még

[szerkesztés] Műveletek

A Gauss-egészek összeadása egyszerűen koordinátánként történik: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. A szorzásnál felhasználjuk az $i 2 = - 1$ egyenlőséget: $(a + b i)(c + d i) = (a c - b d) + (b c + a d) i$ . E műveletek nem vezetnek ki a Gauss-egészek köréből, sőt az is könnyen látható, hogy ezek ${\mathbf Z}[i]$ -vel jelölt gyűrűt alkotnak. E gyűrű nullosztómentes, hányadosteste ${\mathbf Q}(i)=\{a+bi:a,b\in{\mathbf Q}\}$ . A Gauss-egészek e test algebrai egész elemei.

[szerkesztés] Norma

Egy a+bi Gauss-egész normája a nemnegatív egész

N (a + b i) = (a + b i)(a - b i) = a 2 + b 2 .

N(x)=0 csak x=0-ra teljesül, továbbá a norma multiplikatív: N(xy)=N(x)N(y). Ennélfogva, ha x osztja y-t, akkor N(x) is osztója N(y)-nak.

[szerkesztés] Egységek, asszociáltak, prímelemek

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,i,-i. Ezek az egységek, tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1+i Gauss-prím és 2 prímfelbontása $2 = - i (1 + i) 2$ . Minden $p\equiv 3 \pmod{4}$ ${\mathbf Z}$ -beli prímszám ${\mathbf Z}[i]$ -ben is prím. Ha viszont $p\equiv 1 \pmod{4}$ prímszám, akkor p felbomlik, mint $p = (a + b i)(a - b i)$ , ahol $a 2 + b 2 = p$ (ilyen felbontás a két-négyzetszám-tétel szerint mindig létezik) és az $a + b i$ , $a - b i$ Gauss-prímek nem asszociáltak. Ezzel megkaptuk valamennyi Gauss-prímet.

A Gauss-egészek körében ugyanúgy, mint az egész számok között, értelmezhető a kongruencia-reláció: $x\equiv y \pmod{z}$ akkor teljesül, ha x-y osztható z-vel. Ekkor, ha $π$ prímelem, akkor a mod $π$ maradékosztályok száma $N (π)$ .

[szerkesztés] Egyértelmű prímfaktorizáció

A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így ${\mathbf Z}[i]$ euklideszi gyűrű: ha $a,b\in{\mathbf Z}[i]$ , $b\neq 0$ akkor létezik $q$ és $r$ , hogy $a = b q + r$ és $N (r) < N (b)$ . Innen adódik, hogy ${\mathbf Z}[i]$ -ben igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon $π$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy $π = x y$ esetén x vagy y asszociáltja $π$ -nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Gauss-prímekkel (azon $π$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy $\pi\mid xy$ esetén $\pi\mid x$ vagy $\pi\mid y$ teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható $x=\pi_1\cdots\pi_r$ alakban, ahol $\pi_1,\dots,\pi_r$ prímelemek, továbbá, ha $x=\rho_1\cdots\rho_s$ egy másik felírás, akkor $s = r$ és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,...,r-re $ρ j$ asszociáltja $π j$ -nek.