Kétborítékos paradoxon

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A kétborítékos paradoxon egy nagyon egyszerűen megfogalmazható, ám annál fogósabb valószínűség-számítási paradoxon, amelynek a mai napig nem született átalánosan elfogadott megoldása.

Tartalomjegyzék 1 A paradoxon 2 Megoldásjavaslat 3 Egy nehezebb probléma 4 Megoldásjavaslat 5 A legnehezebb probléma 6 Külső hivatkozások 6.1 Lásd még 6.2 A cikkben hivatkozott publikációk 6.3 További pulikációk a témában

[szerkesztés] A paradoxon

Tegyük fel, hogy egy vetélkedő végén a játékvezető két teljesen egyforma borítékot helyez elénk, és csak annyit árul el, hogy mindkét borítékban valamekkora (nemnulla) nyeremény szerepel, és hogy az egyik pontosan kétszerese a másiknak. Ezután felajánlja, hogy válasszunk egy borítékot.

Ennek megfelelően választunk egy borítékot, majd megnézzük, hogy mekkora a borítékban szereplő nyeremény összege. De mielőtt boldogan távoznánk, a játékvezető megkérdezi, hogy nem lenne-e kedvünk elcserélni a két borítékot. Lássuk, mik a lehetőségeink? Csak annyit tudunk a másik összegről, hogy vagy fele, vagy kétszerese a kezünkben lévőnek. Ha a kezünkben A van, akkor a másik

1. 1/2 valószínűséggel A/2;
2. 1/2 valószínűséggel 2A.

A várható érték értelemszerűen , ami több, mint A, tehát a cserével jól járunk!

Vegyük észre, hogy a csere az A összegtől függetlenül kedvezőnek tűnik, tehát tulajdonképpen már azelőtt dönthetünk úgy, hogy cserélünk, mielőtt kinyitnánk az első borítékot. Sőt, már azelőtt tudjuk, hogy cserélni fogunk, mielőtt még egyáltalán választottunk volna!

[szerkesztés] Megoldásjavaslat

Kérdés, hogy a borítékban lévő összeg ismeretében valóban igaz lehet-e, hogy annak a valószínűsége, hogy a másik borítékban fele akkora, ill. kétszer nagyobb összeg van, egyaránt 1/2. Természetesnek tűnik a gondolat, hogy minél nagyobb A, annál kisebb a valószínűsége, hogy a másik borítékban nagyobb összeg található. A matematika nyelvére átfogalmazva a kérdést: van-e olyan eloszlás, amelyre az (X, 2X) pár összes lehetséges értéke egyformán valószínű, X = 2ⁿA, n = 0, ±1, ±2,.... értékeire? Ez azonban végtelen sok érték, így nem lehetséges rajtuk egyenletes eloszlást definiálni, azaz valóban igaz, hogy egyes értékek valószínűbbek, mint mások. Igaz, a tényleges eloszlást nem ismerjük, így a döntéshez nincs meg a kellő információnk.

[szerkesztés] Egy nehezebb probléma

A fenti megoldás nem zárja ki, hogy találjunk olyan eloszlást, amely mellett a paradoxon mégiscsak működik. Ez az eloszlás persze nem egyenletes, mivel az lehetetlen.

Tegyük fel, hogy a borítékokban található összegek a 2ⁿ and 2ⁿ⁺¹ nemnegatív egészek q(1 − q)ⁿ valószínűséggel, valamely rögzített q < 1/2 értékre.

Természetesen létezik nyerő stratégia: csak akkor cserélünk, ha az elsőnek választott borítékban 1 van, mivel ilyenkor a másikban biztosan 2 van. De ennél jobban is járhatunk. Tegyük fel, hogy a kibontott borítékban 2ⁿ for n ≥ 1 van. Ekkor a másik boríték tartalma:

a 2^{n − 1} összeg, q(1 − q)^{n − 1} / R valószínűséggel,

a 2^{n + 1} összeg, q(1 − q)ⁿ / R valószínűséggel,

ahol

R = q(1 − q)^{n − 1} + q(1 − q)ⁿ

Ebből következik, hogy a várható nyereség csere esetén

amely pozitív, ha q < 1/2, azaz a csere még mindig megéri minden esetben!

Ez az érvelés továbbra is érvényes akkor is, ha meg se nézzük az első borítékban lévő összeget, ugyanakkor kikerüli a végtelen sok értéken definiálandó egyenletes eloszlás problémáját.

[szerkesztés] Megoldásjavaslat

Megmutatható, hogy a fenti eloszlás várható értéke végtelen, ezért a boríték felbontása előtt a csere várható nyeresége "∞ − ∞", amely definiálatlan. Más szóval ez csak egy újabb példa egy jól ismert jelenségre, a végtelen „józan paraszti ésszel” nem megfogható viselkedésére. Számos matematikus szerint ez feloldja a paradoxont.

De valójában minden olyan esetben, amikor felbontjuk a borítékot, a csere valóban megérni látszik, azaz a paradoxon még mindig áll. Chalmers^[1] erre azt mondja, hogy a döntéselmélet nem működik, ha olyan problémával szembesül, amelyben divergáló várható értékek szerepelnek, és analógiának felhozza a Szentpétervár-paradoxont^[2].

Clark és Shackel azonban megmutatják^[3], hogy a paradoxon valójában nem magyarázható a végtelen furcsa viselkedésével. Adnak ugyanis egy példát két véletlen változóra, amelynek mindkettőnek végtelen a várható értéke, mégis az egyik mindig jobb, mint a másik (p. 426).

[szerkesztés] A legnehezebb probléma

A paradoxon legnehezebb változatát meglepő módon a lehető legegyszerűbb megfogalmazással kapjuk, nevezetesen egy olyannal, amely nem is említ valószínűségeket:

1. Legyen a választott borítékban lévő összeg A. Ekkor a cserével A-t nyerünk, ha nyerünk, viszont csak A/2-et vesztünk, ha vesztünk. A nyerhető összeg tehát szigorúan nagyobb, mint a veszíthető.
2. Legyen a borítékokban lévő összeg Y és 2Y. Ekkor a cserével Y-t nyerünk, ha nyerünk, és Y-t vesztünk, ha vesztünk. Azaz a két összeg megegyezik.

A két érvelés nyilvánvalóan ellentmondó következtetésre jut.

[szerkesztés] Külső hivatkozások

[szerkesztés] Lásd még

• Monty Hall-paradoxon
• Szentpétervár-paradoxon
• Bertrand paradoxonja

[szerkesztés] A cikkben hivatkozott publikációk

1. ^ David J. Chalmers, The Two-Envelope Paradox: A Complete Analysis?
2. ^ David J. Chalmers, The St. Petersburg Two-Envelope Paradox in Analysis, April 2002
3. ^ Clark and Shackel, The Two-Envelope Paradox, PDF in Mind July 2000 Abstract

[szerkesztés] További pulikációk a témában

• Barry Nalebuff, Puzzles: the other person's envelope is always greener, Journal of Economic Perspectives 3, 1989
• R Christensen and J Utts, Bayesian Resolution of the 'Exchange Paradox', The American Statistician 1992
• Jackson, Menzies and Oppy, The Two Envelope 'Paradox', in Analysis, January 1994
• Castell and Batens, The Two Envelope Paradox: The Infinite Case, in Analysis, January 1994
• Elliot Linzer, The Two Envelope Paradox, American Mathematical Monthly, Volume 101, Number 5, May 1994, p. 417
• John Broome, The Two-envelope Paradox, in Analysis, January 1995
• A D Scott and M Scott, What’s in the Two Envelope Paradox?, in Analysis, January 1997
• McGrew, Shier and Silverstein, The Two-Envelope Paradox Resolved, in Analysis, January 1997
• Arntzenius and McCarthy, The two envelope paradox and infinite expectations, in Analysis, January 1997
• John Norton, When the Sum of Our Expectations Fails Us: The Exchange Paradox PDF, 1998
• Wilfried Hausmann, On The Two Envelope Paradox PDF, August 2000
• Terry Horgan, The Two-Envelope Paradox, Nonstandard Expected Utility, and the Intensionality of Probability, 2000
• Olav Gjelsvik, Can Two Envelopes Shake The Foundations of Decision Theory? PDF, September 2001
• Terry Horgan The Two-Envelope Paradox and the Foundations of Rational Decision Theory, 2001
• Jeff Speaks, The two-envelope paradox and inference from an unknown PDF, June 2002
• James Chase, The non-probabilistic two envelope paradox Analysis, April 2002
• Friedel Bolle, The Envelope Paradox, the Siegel Paradox, and the Impossibility of Random Walks in Equity and Financial Markets PDF, February 2003
• Priest and Restall, Envelopes and Indifference PDF, February 2003
• Wilton, The Two Envelopes Paradox PDF, June 2003
• Meacham and Weisberg, Clark and Shackel on the Two-Envelope Paradox PDF, October 2003
• Eric Schwitzgebel and Josh Dever, Using Variables Within the Expectation Formula PDF, February 2004 A Simple Version of Our Explanation
• Dov Samet, Iddo Samet, and David Schmeidler, One Observation behind Two-Envelope Puzzles PDF, April 2004
• Franz Dietrich and Christian List, The Two-Envelope Paradox: An Axiomatic Approach PDF, May 2004
• Bruce Langtry, The Classical and Maximin Versions of the Two-Envelope Paradox PDF, August 2004
• Jan Poland, The Two Envelopes Paradox in a Short Story PDF, 2005
• Rich Turner and Tom Quilter, The Two Envelopes Problem PDF, 2006
• Paul Syverson, Opening Two Envelopes (Forthcoming)