Paradosso delle due buste

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Indice

1 Situazione
2 Paradosso
3 Soluzione
- 3.1 Caso 1 - buste chiuse, nessun paradosso
- 3.2 Caso 2 - una busta aperta
  - 3.2.1 Premio massimo definito
  - 3.2.2 Nessun limite al premio
4 Argomenti correlati
5 Cenno storico
6 Approfondimenti matematici
- 6.1 Caso 1
- 6.2 Caso 2
  - 6.2.1 Distribuzione uniforme
  - 6.2.2 Altre distribuzioni
7 Note

Il paradosso delle due buste deriva da un ragionamento logico-matematico, apparentemente ineccepibile, che dimostra come, tra due buste di valore diverso, ma dichiarate esternamente indistinguibili, risulta sempre probabilmente migliore l'altra, non appena se ne sceglie una e se ne guarda il valore.

(Sembra, insomma, la dimostrazione matematica del proverbio popolare: "L'erba del vicino Ã¨ sempre piÃ¹ verde".)

In realtÃ , come Ã¨ intuitivo, il guadagno atteso da uno scambio delle buste all'ultimo momento dovrebbe essere mediamente nullo, ma, nella situazione prospettata, risulta piuttosto sottile individuare se sia fallace l'enunciato, il ragionamento logico o l'intuito.

L'analisi di questo paradosso richiama l'attenzione sulla valutazione non sempre banale della probabilitÃ condizionata e sui limiti dell'ipotesi di equiprobabilitÃ per eventi con cause sconosciute.

[modifica] Situazione

In un ipotetico gioco a premi, al concorrente vengono presentate due buste chiuse, ciascuna contenente l'indicazione di un premio in denaro, che il concorrente riceverÃ , se la sceglie. Ãˆ certo che il valore indicato in una busta Ã¨ esattamente il doppio di quello dell'altra, ma non si sa quale delle due contenga il premio maggiore.
Il concorrente puÃ² ottenere il premio di una sola busta, ma gli viene data la possibilitÃ di effettuare la scelta definitiva anche dopo aver aperto a suo piacere una busta ed averne visto il valore.

[modifica] Paradosso

Sembra evidente che:

1 - non c'Ã¨ differenza nella scelta dell'una o dell'altra busta, prima dell'apertura.

2 - la conoscenza del valore di una busta non aggiunge informazioni alla domanda se questo sia maggiore o minore dell'altro.

Quindi non c'Ã¨ alcun motivo per preferire l'una o l'altra busta, prima di averle aperte entrambe.

Tuttavia, applicando la teoria delle decisioni, si giunge alla conclusione paradossale che sia sempre conveniente scegliere l'altra busta.

Infatti, se nella busta che si sceglie di aprire per prima Ã¨ contenuto, diciamo, un premio di valore A,

certamente nell'altra busta Ã¨ contenuto un premio di valore A/2, oppure un premio di valore 2A.

In caso di cambio, se andasse male, si perderebbe solo la metÃ (A/2) ma, se andasse bene, si raddoppierebbe (guadagno=A).

Quindi conviene sempre cambiare!

[modifica] Soluzione

Il ragionamento si basa sulle due condizioni:

probabilitÃ del 50% per il caso favorevole e altrettanto per quello contrario;
conoscenza del valore del premio contenuto in una busta.

Queste assunzioni sarebbero entrambe corrette di per sÃ©, ma non lo sono contemporaneamente.
Infatti si riferiscono a due casi ben distinti:

[modifica] Caso 1 - buste chiuse, nessun paradosso

Chiamiamo X e Y (con Y=2X) i valori, non noti, distribuiti in modo equiprobabile tra le due buste.

Ora, se si apre prima la busta con X, nel cambio si troverebbe Y=2X con un guadagno pari a X.
Se si apre prima la busta con Y, nel cambio si troverebbe X, stavolta con un perdita netta pari a X.
CioÃ¨ il guadagno e la perdita sono uguali ed equiprobabili, come intuitivamente doveva essere.

Non si puÃ² applicare il ragionamento iniziale del paradosso, perchÃ© il valore A, trovato all'apertura della prima busta, varrebbe una volta X e una volta Y.

Sarebbe sbagliato quindi dire che una perdita pari ad A/2 (quando si cambia dopo aver aperto prima la busta col valore maggiore, e A=Y=2X) sia diversa da un guadagno pari ad A (quando si cambia dopo aver aperto prima la busta col valore minore, e A=X).

[modifica] Caso 2 - una busta aperta

chiamiamo A il valore trovato nella busta aperta.

Stavolta la vincita puÃ² essere solo A e la perdita solo A/2. Ma non possiamo piÃ¹ affermare con certezza che la probabilitÃ tra i due casi sia la stessa. Essa dipende fortemente dal valore di A, in relazione alla distribuzione di probabilitÃ dei premi possibili.
In altre parole, tutto dipende dal criterio con cui sono stati scelti i premi da inserire nelle buste .

[modifica] Premio massimo definito

Supponiamo, ad esempio, che il premio maggiore nella buste sia stato scelto a caso (con uguale probabilitÃ ) tra zero e 2 milioni, come valore massimo. Di conseguenza il premio minore sarÃ compreso tra zero e un milione, con la stessa distribuzione di probabilitÃ .
In queste condizioni, se il valore A trovato nella prima busta Ã¨ inferiore ad un milione abbiamo una buona probabilitÃ ^[1] di guadagnare nel cambio.

Ma, ovviamente, avremmo la certezza di una perdita, se cambiassimo quando A Ã¨ maggiore di un milione!

Se poi decidessimo di cambiare in ogni caso, ci accorgeremmo che, a conti ben fatti, il valore atteso del guadagno sarebbe esattamente zero. Infatti, calcolando correttamente il valore della perdita per la probabilitÃ di perdere, si trova esattamente un risultato uguale al valore del guadagno per la probabilitÃ di vincere.

Anche in questo caso il paradosso scompare. Il ragionamento iniziale non Ã¨ applicabile, in quanto non teneva conto del limite massimo dei premi.

[modifica] Nessun limite al premio

Se non possiamo ipotizzare il valore massimo del premio, cioÃ¨ se ammettiamo che il premio possa diventare teoricamente infinito, allora il paradosso ritorna a buon diritto. Infatti le grandezze infinite si comportano notoriamente in modo paradossale ^[2] , o a dir meglio contro-intuitivo, pur nel rispetto rigoroso delle regole matematiche.

Per analogia col caso precedente, il valore limite che discrimina tra guadagno e perdita nello scambio dovrebbe essere la metÃ di infinito.
Intuitivamente perÃ², ci sembra impossibile che il valore A, trovato nella prima busta, possa raggiungere e superare tale valore.
Trascuriamo allora di conteggiare il peso della eventualitÃ teorica in cui A sia infinito, e maggiore di infinito/2.
CiÃ² dÃ forza al primo ragionamento e fa nascere il paradosso che conviene sempre cambiare.
Ma scegliere di cambiare anche nella eventualitÃ di premio infinito porterebbe ad una perdita disastrosa, che controbilancia qualunque altro guadagno.

Anche in questo caso, a conti ben fatti, la scelta di cambiare 'sempre' comporta un guadagno atteso nullo, se si mette debitamente in conto il peso di perdite (o guadagni) infiniti.
Giungiamo alla conclusione (contraddittoria) che, se non ipotizziamo un limite massimo dei premi, dallo scambio dobbiamo sempre aspettarci un guadagno atteso positivo, ma alla fine, la media di tutti questi guadagni positivi Ã¨ esattamente nulla.

Negli approfondimenti matematici dei paragrafi successivi si ripetono queste considerazioni, rivestendole di formalismo ed estendendole ai casi con qualunque distribuzione di probabilitÃ .

[modifica] Argomenti correlati

Calcolo di probabilitÃ condizionata

Problema di Monty Hall - PuÃ² una capra far aumentare la probabilitÃ di vincere un'automobile?

Paradossi dell'infinito

Paradosso di San Pietroburgo - (en) - Conviene scommettere su una vincita infinita, con probabilitÃ infinitesima di vincere?

Paradosso di Bertrand - (en) - Quante sono le corde che tagliano un cerchio?

[modifica] Cenno storico

Una formulazione analoga a questo paradosso risale almeno al 1953, quando un matematico belga, Maurice Kraitchik, propose questo rompicapo:

Due persone, ugualmente ricche arrivano a confrontare il contenuto dei loro portafogli, di cui nessuno dei due conosce il contenuto esatto. Impostano il gioco in questi termini: chi ha meno denaro nel portafoglio riceverÃ tutto il denaro del portafoglio dell'altro (niente accade, se i due valori sono uguali).

Uno dei due puÃ² cosÃ¬ ragionare: Supponiamo che ho una quantitÃ A nel mio portafoglio: questo Ã¨ il massimo che potrei perdere. Se invece vinco (probabilitÃ 0,5), alla fine avrÃ² nel mio portafoglio un valore certamente maggiore di 2A. Quindi il gioco Ã¨ favorevole a me.

L'altro puÃ² ragionare esattamente allo stesso modo. In effetti, per simmetria, il gioco Ã¨ pari. Dov'Ã¨ dunque l'errore nel ragionamento di ciascun uomo?

Martin Gardner ha reso popolare il rompicapo nel suo libro del 1982 Aha! Gotcha, sempre nella forma di scommessa sul portafoglio. Nel 1989 Barry Nalebuff lo ha presentato nella forma delle due buste e, da allora, questa Ã¨ la forma piÃ¹ comunemente usata.

[modifica] Approfondimenti matematici

[modifica] Caso 1

Prima di aprire le buste, Ã¨ corretto assegnare ad una busta il 50% di probabilitÃ di contenere il premio maggiore (o minore).

Si corre perÃ² il rischio di sbagliare, se si assegna al premio un valore X, e se si ragiona una volta come se questo X fosse il premio maggiore, ma subito dopo come se lo stesso X fosse il premio minore.

Si puÃ² comunque evitare l'analisi della variabile stocastica X, semplicemente assegnando alle due buste valori di premio pari a X e a 2X. Questa assegnazione, valida qualunque sia la distribuzione di probabilitÃ dei premi, permette di definire correttamente la differenza tra le due buste.

Tale differenza, nel caso di scambio, corrisponde alla perdita a cui si va incontro, se la prima busta contiene il valore maggiore, ma anche al guadagno che si ottiene, se la prima busta contiene il valore minore.

[modifica] Caso 2

Supponendo di conoscere il valore del premio contenuto in una busta, e volendo tener conto di come questa informazione possa influire sulla decisione di cambiare, diventa indispensabile formulare un'ipotesi sulla distribuzione di probabilitÃ con cui siano stati scelti i premi nelle buste.

Con qualche passaggio matematico si dimostrare che, in ogni caso, qualunque sia questa distribuzione, il cambio comporta un guadagno atteso nullo.

[modifica] Distribuzione uniforme

Sappiamo che ad ogni valore Y, che possa essere inserito nella busta di valore maggiore, Ã¨ associato un valore X=Y/2 che deve essere inserito nella busta di valore minore.
Chiamiamo x il valore minore e y il valore maggiore contenuti nella coppia di buste in gioco.

Possiamo supporre che y sia stato scelto a caso da una distribuzione uniforme tra un minimo m e un massimo M.
Chiamiamo p(y) questa distribuzione di probabilitÃ .
Di conseguenza x risulta scelto a caso in un intervallo metÃ , da m/2 a M/2, con una distribuzione uniforme di valore doppio

p(x)= 2p(y).

Dunque il valore A che troveremo nella prima busta avrÃ probabilitÃ :

p(x) (m-m/2) di appartenere alla classe delle x, nell'intervallo da m/2 a m. - Nello scambio si guadagna A.
p(x) (M/2-m) di appartenere alla classe delle x, nell'intervallo da m a M/2. - Nello scambio si guadagna A.
p(y) (M/2-m) di appartenere alla classe delle y, nell'intervallo da m a M/2. - Nello scambio si perde A/2.
p(y) (M-M/2) di appartenere alla classe delle y, nell'intervallo da M/2 a M. - Nello scambio si perde A/2.

Per normalizzare, in modo che la probabilitÃ complessiva sia uguale a 1, deve essere uguale a 1 la somma dei quattro casi:

p(x) m/2 + p(x) (M/2-m) + p(y) (M/2-m) + p(y) M/2 = 1

p(y) ( m + 2(M/2-m) + (M/2-m) + M/2 ) = 1

CioÃ¨:

p (y) = 1 / 2(M âˆ’ m)

p (x) = 1 / (M âˆ’ m)

Nei quattro casi si ottengono dunque i seguenti valori medi di guadagno atteso dallo scambio (valore medio dell'intervallo, moltiplicato per la probabilitÃ dell'intervallo stesso):

+A(medio)= 1/2(m+m/2), con probabilitÃ p(x)m/2, cioÃ¨ $G1=( 3\!/\!8\ m^2 )/(M-m)$
+A(medio)= 1/2(M/2+m), con probabilitÃ p(x)(M/2-m), cioÃ¨ $G2=( 1\!/\!2\ (M^2\!/\!4-m^2) )/(M-m)$
-A/2(medio)= -1/4(M/2+m), con probabilitÃ p(y)(M/2-m), cioÃ¨ $G3=-( 1\!/\!8\ (M^2\!/\!4-m^2) )/(M-m)$
-A/2(medio)= -1/4(M+M/2), con probabilitÃ p(y)M/2, cioÃ¨ $G4=-( 3\!/\!32\ M^2 )/(M-m)$

Sommando i quattro casi, si vede che il guadagno atteso complessivo Ã¨ esattamente nullo. PiÃ¹ in dettaglio, esso Ã¨ positivo per A minore di m (caso 1) e per A compreso tra m e M/2 (caso 2 + caso 3), ma Ã¨ negativo per A maggiore di M/2.

Questo risultato puÃ² essere esteso senza problemi al caso in cui il minimo m diventi piccolo fino allo zero, annullando il primo intervallo.

Ancora, il risultato di guadagno nullo rimane valido anche al caso in cui M diventa grande a piacere, fino all'infinito.

In questo ultimo caso perÃ², si perde il significato dell'intervallo 4, da 1/2 infinito a infinto. Se non si passa prima dall'analisi di M finito, facilmente si Ã¨ indotti a trascurare l'influenza di questo intervallo e si perde la possibiltÃ di spiegare l'origine del paradosso.

Una caratteristica fastidiosa della distribuzione uniforme Ã¨ che, quando l'intervallo M diventa infinito, la probabilitÃ di qualunque valore diventa evanescente.
Ancora, quando l'intervallo M diventa infinito, il premio mediamente atteso dall'apertura di una busta diventa esso stesso infinto. Ãˆ questo un altro aspetto importante, che spiega come mai possa sembrare vantaggioso cambiare sempre. Qualunque sia il valore (finito) che si trovi nella prima busta, esso apparirÃ sempre al di sotto della media attesa.

[modifica] Altre distribuzioni

Per superare i problemi di probabilitÃ evanescenti e di premi infiniti, sono state analizzate distribuzioni di probabilitÃ decrescenti per premi elevati.

Se la distribuzione di probabilitÃ p(y) diminuisce, al crescere di y, piÃ¹ rapidamente di 1/y, diventa possibile normalizzare a 1 la probabilitÃ complessiva, dividendo per l'integrale da zero a infinito di p(y)dy, che in questo caso non Ã¨ infinito.

Rimarrebbe perÃ² ancora infinito il premio medio atteso, a meno che la distribuzione di probabilitÃ non diminuisca, al crescere di y, piÃ¹ rapidamente di $1 / y 2$ .

In quest'ultimo caso il confronto tra la probabilitÃ che un valore A, trovato nella prima busta, sia la metÃ di un valore, diciamo y=2A, contenuto nella seconda busta (per cui converrebbe cambiare), e la probabilitÃ contraria, che si tratti invece del doppio di un valore, diciamo x=A/2, contenuto nella seconda busta (per cui non converrebbe cambiare), Ã¨ cosÃ¬ sfavorevole che non risulta mai conveniente cambiare.

In tutti i casi, compresi quello della distribuzione uniforme e quello delle distribuzioni a media infinita, il valore atteso del guadagno medio Ã¨ sempre esattamente zero.

Per la dimostrazione analitica, conviene partire assegnando due simboli diversi alla probabilitÃ $p (y)$ , che venga posto nelle buste un premio (di valore maggiore) compreso tra $y$ e $y + d y$ , e alla probabilitÃ $p (x)$ , che venga posto nelle buste un premio (di valore minore) compreso tra $x$ e $x + d x$ . Siano:

p (y) = g (y) d y

p (x) = f (x) d x

Ovviamente, quando $y = 2 x$ . , deve essere $p (y) = p (x)$ . CioÃ¨:

f (x) d x = g (y) d y = g (2 x)2 d x

La probabilitÃ di trovare un valore $z$ nella prima busta Ã¨ data dalla somma della probabilitÃ $f (z) d z$ , che $z$ sia il valore minore (e quindi si guadagna z nel cambio), piÃ¹ la probabilitÃ $g (z) d z$ , che $z$ sia il valore maggiore (e quindi si perde z/2 nel cambio). Complessivamente il guadagno atteso nel cambio vale:

$G = z\ f(z)dz - z/2\ g(z)dz = z\ g(2z)\ 2 dz - z/2\ g(z)dz = (2g(2z)-1/2\ g(z))\ z dz$ .

Si vede dunque che il guadagno Ã¨ positivo quando $g(2z) > 1/4\ g(z)$ , cioÃ¨ quando la probabilitÃ a priori che venga scelto un certo valore di premio Ã¨ piÃ¹ di quattro volte la probabilitÃ che venga scelto un valore doppio.

Nei casi in cui questa condizione non Ã¨ rispettata, per esempio, con una funzione del tipo

g (z) = 1 / z (1 + z)

o, in modo piÃ¹ netto, quando esiste un valore massimo M del premio possibile, e

z

Ã¨ compreso tra M/2 e M, non conviene cambiare e il paradosso non si pone.

Negli altri casi ci troviamo invece nella situazione paradossale, o meglio contro intuitiva, che il guadagno Ã¨ positivo per ogni valore di $z$ , ma la somma integrale dei guadagni attesi, estesa da zero infinito, Ã¨ nulla. Infatti:

$G_t = \int_{0}^\infty (2g(2z)-1/2\ g(z))\ z\ dz = \int_{0}^\infty 2g(2z)\ z\ dz - \int_{0}^\infty 1/2\ g(z)\ z\ dz$

Ponendo w=2z e dw=2dz:

$G_t = \int_{0}^\infty 1/2\ g(w)\ w\ dw - \int_{0}^\infty 1/2\ g(z)\ z\ dz$

che vale esattamente zero, qualunque sia la distribuzione di probabilitÃ $g (x)$ .

[modifica] Note

â†‘ PiÃ¹ esattamente, il guadagno medio atteso Ã¨ positivo e pari ad A/2.
Ad esempio nel caso ipotizzato, la probabilitÃ che come premio maggiore sia stato scelto proprio il valore generico A Ã¨ pari a 1 su due milioni.
Analogamente, la probabilitÃ che un valore generico A (minore di un milione) appartenga alla classe dei premi minori Ã¨ pari a 1 su un milione.
In altre parole, un valore A inferiore al milione ha probabilitÃ doppia di essere un premio "minore", rispetto alla probabilitÃ di essere un premio "maggiore". Ovviamente un valore A superiore al milione sarebbe certamente un premio "maggiore".
Se dunque A Ã¨ minore di un milione, decidendo di cambiare, si hanno 2 probabilitÃ di raddoppiare (guadagnare un altro A), e 1 probabilitÃ di dimezzare la vincita (perdere A/2). CioÃ¨ si ottiene 'mediamente' un guadagno pari a (2/3 A - 1/3 A/2)= A/2.
â†‘ Un semplice esempio di comportamento 'paradossale' dell'infinito puÃ² essere derivato dal paradosso di Galileo. Quanti sono i numeri pari, rispetto al totale dei numeri naturali?
La totalitÃ dei pari deve essere almeno uguale alla totalitÃ dei numeri interi: infatti per ogni numero esiste il suo doppio, che Ã¨ pari.
Sappiamo bene invece che, in qualunque successione naturale (e limitata), i numeri pari sono solo la metÃ del totale. Evidentemente per l'infinito non valgono le regole ordinarie.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../p/a/r/Paradosso_delle_due_buste.html"

Categoria: Paradossi