Lineáris optimalizálás

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A lineáris optimalizálás a lineáris algebra egy ága, 1940 után fejlődött ki az elektronikus számítástechnikával együtt. A közgazdászok és a matematikusok számára egyaránt fontos. Az elmélet megalkotói G. B. Dantzig és Neumann János.

A lineáris optimalizálási probléma azt jelenti, hogy több keresett mennyiség lineáris függvényének szélsőértékét kell meghatározni, ha mellékfeltételként lineáris egyenlőtlenségek lépnek fel, és a keresett mennyiségeknek csak nem negatív értékei jönnek számításba.

Az iparban, a gazdaságban, a haditudományban sok olyan probléma van, amely optimalizálási feladatként fejezhető ki, vagy így közelíthető meg. Ismerünk pl. ellátási problémákat, keverési problémákat. Bizonyos játékok optimalizálási feladatokra vezethetők vissza.

A szállítási problémák - ide tartoznak a hozzárendelési problémák is - különösen egyszerű optimalizálási feladatok. A szállítási feladatok megoldására különleges módszerek vannak.

Amennyiben valamilyen lineáris optimalizációs feladat csak két ismeretlen mennyiséget tartalmaz, akkor grafikusan is megoldható. A számolással való megoldásra különböző eljárások léteznek, ezek elektronikus számítóberendezésekkel való megoldásokra is alkalmasak. A legismertebb a szimplex módszer, amelyet G. B. Dantzig fejlesztett ki.

A lineáris optimalizációtól különböző, más optimalizációs módszerek is vannak, pl. a nem lineáris vagy dinamikus optimalizálás.

[szerkesztés] Általános optimalizációs feladatok

Az általános optimalizációs feladat tipikus példájaként egy ellátási problémát tárgyalunk.

[szerkesztés] A feladat kitűzése

Egy mezőgazdasági üzemben a sertéseket burgonyával és répával hizlalják. A burgonya 3% fehérjét és 15% szénhidrátot, a répa 1% fehérjét és 10% szénhidrátot, és mind a kettő 2% ásványi sót tartalmaz. A sertéseknek naponta legalább 0,3 t fehérjét és 2,25 t szénhidrátot kell fogyasztani, de a táplálékban nem szabad 0,5 t-nál több ásványi sónak lennie. 1 t burgonya 100 márkába kerül, 1 t répa 50 márkába. Milyen $x$ burgonya-és $y$ répamennyiség használható fel, hogy a hizlalás a legolcsóbb legyen?

[szerkesztés] Megoldás

Először is felírjuk az adatokat egyenletek, illetve egyenlőtlenségek formájában. A hizlalás napi összköltsége K, $x$ és $y$ függvénye. $K$ -t célfüggvénynek nevezzük:
$K = K (x; y) = 100 x + 50 y$ .
$K$ -nak lehetőleg kicsinek kell lennie. Emellett azonban be kell tartani a mellékfeltételeket: a táplálékban legalább 0,3 t fehérjének és 2,25 t szénhidrátnak kell lennie, és nem szabad túl sok sót tartalmaznia. A százalékos adatokból tehát adódnak a mellékfeltételek:
$0,3x+0,01y \ge0,3$
$0,15x+0,10y \ge2,25$
$0,02x+0,02y \le0,5$
Világos továbbá, hogy az $x$ és $y$ változók negatív értékeinek nincs értelme, ezért érvényes a nemnegativitási feltétel: $x \ge0$ , $y \ge0$ .

Mivel a feladat csak két ismeretlen mennyiséget: $x$ -et és $y$ -t tartalmaz, grafikusan is megoldható. Ehhez $x$ -et és $y$ -t egy pont derékszögű koordinátáinak tekintjük, és az $(x; y)$ síkban azt a $G$ tartományt keressük, amelynek pontjai kielégítik a mellékfeltételeket és a nemnegativitási feltételt. Ez a megengedhető tartomány, mert amegoldáshoz csak olyan $(x; y)$ pontok jönnek számításba, amelyek a $G$ határán vagy a belsejében vannak.

$G$ meghatározását pl. a következőképpen végezhetjük: felrajzoljuk a $0,3 x + 0,01 y = 0,3$ , illetve $3 x + y = 30$ egyenletű egyenest úgy, hogy két pontját, pl. a (0; 30) és a (10; 0) pontokat berajzoljuk és összekötjük egymással. Most megnézzük, hogy a (0; 0) pont kielégíti-e az eredeti egyenlőtlenséget. Itt az egyenlőtlenséget annak a félsíknak a pontjai elégítik ki, amely nem tartalmazza (0; 0) pontot. így egymás után végigmegyünk az összes feltételen, és $G$ az a tartomány, amelynek belsejében vagy határán egyidejűleg minden feltétel kielégül.

Végül még egy, $K = 100 x + 50 y = c$ egyenest rajzolunk be, ahol $c$ tetszés szerinti szám (pl. $c = 500$ ). Majd meghatározzuk $c$ legkisebb értékét úgy, hogy ezt az egyenest addig toljuk el önmagával párhuzamosan, amíg $G$ -t érinti. A $c$ mennyiség a legkisebb értékét tehát vagy a $G$ egyik csúcspontjában veszi fel, vagy a $G$ egy határoló egyenesén. Az alábbi táblázatban, ahol $G$ mindegyik csúcspontjának koordinátái, és a $K (x y)$ célfüggvény ezekhez tartozó értékei vannak feltüntetve, megtalálható a megoldás: $K = 1250$ , ha $x = 5$ , $y = 15$ .

Naponta tehát 5 t burgonyát és 15 t répát kell a sertéseknek adni; ez adja a minimális 1250 márka költséget.

$G$ csúcspontjai	$x$	$y$	$K (x; y$
$P 1$	15	0	1500
$P 2$	25	0	2500
$P 3$	2,5	22,5	1375
$P 4$	5	15	1250

[szerkesztés] Egy probléma általános megfogalmazása

Az előbb kifejtett ellátási probléma általánosítható, ha a három táplálékféleségen kívül még tekintetbe kell venni pl. zsírt, vitaminokat. Ha ezenkívül még egyéb táplálékot is bevonunk, akkor általános lineáris optimalizációs problémát kapunk.

A lineáris optimalizáció minden feladata a következő normálalakba írható: adva van a $''' c''' = (c 1, c 2,..., c n)$ sorvektor, az A mátrix és az a oszlopvektor:
$A=\left( \frac{a_{11}...a_{1n}}{a_{m1}...a_{mn}} \right)$ , $a=\left( \frac{a_1}{a_m} \right)$ .
Keressük az
$x=\left( \frac{x_1}{x_n} \right)$ oszlopvektort a következő feltételek mellett:

$K = K (x 1, x 2,..., x n) = c x$ $\rightarrow$ minimum, $Ax \le a$ és $x \ge 0$ .

A fenti példában ez így alakul:
c=(100,50), $A=\begin{pmatrix} -0,03 & -0,01 \\ -0,15 & -0,10 \\ 0,02 & 0,02 \end{pmatrix}$ , $a=\begin{pmatrix} -0,3 \\ -2,25 \\ 0,5 \end{pmatrix}$ , $x=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ .