Lineární programování

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Lineární programování (dříve lineární optimalizace) je odvětví optimalizace. Řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineární funkce n proměnných na množině, popsané soustavou lineárních nerovností.

Na tento typ úlohy lze převést řadu praktických problémů. Pro řešení jsou známy spolehlivé algoritmy.

[editovat] Úloha

Úlohou lineárního programování je následující optimalizační úloha

$\min_{x\in M} c^Tx,$

přičemž:

$c T x$ označuje skalární součin vektorů c, x.
množina přípustných řešení M je popsána soustavou

$Ax=b,\quad x\geq 0,$

kde A je matice rozměru m × n, b je m-rozměrný vektor a c, x jsou n-rozměrné vektory. Součin Ax označuje součin matic.

[editovat] Poznámky

Množina M představuje geometricky konvexní polyedr (mnohostěn).
Optimální řešení úlohy (pokud existuje) leží ve vrcholu, popř. celé stěně konvexního polyedru M.
Existují speciální úlohy v rámci lineárního programování, např. dopravní problém.
Duální úloha k původní (tzv. primární) úloze je tvaru

$\max_{y\in N} b^Ty,\quad N=\{y\in\mathbb{R}^m \mid A^Ty\leq c\}$

V literatuře jsou často zaměněny definice primární a duální úlohy. To však ničemu nevadí.

Mezi primární a duální úlohou platí zajímavé vztahy.

[editovat] Metody řešení

Nejznámější algoritmus na řešení úlohy lineárního programování je tzv. simplexový algoritmus (původem od G. B. Dantziga, 1951). Existují ale i jiné, asymptoticky rychlejší algoritmy, např. elipsoidová metoda (L. Khachiyan 1979), metoda vnitřních bodů (N. Karmarkar 1984).

[editovat] Reference

Ján Plesník, Jitka Dupačová, Milan Vlach: Lineárne programovanie, ALFA, Bratislava 1990, 1. vydání
Libuše Grygarová: Úvod do lineárního programování, skripta, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1975, 1. vyádní, skripta
Jitka Dupačová: Lineární programování, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1982, 1. vydání, skripta