Másodfokú egyenlet megoldóképlete

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete az

$ax^2+bx+c=0\mbox{ , ahol }a\ne 0. \,$

alakú másodfokú egyenlet megoldásait adja meg $a\,\!$ , $b\,\!$ és $c\,\!$ együtthatókkal kifejezve, amelyekről feltételezzük, hogy valósak. Ezeket a megoldásokat az egyenlet gyökeinek is nevezik. A képlet

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$

A gyök alatti $D\ = b^2 - 4ac\,\!$ kifejezést a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezik, mivel értéke 3 különböző csoportra osztja a megoldásokat:

Ha a diszkrimináns nulla, akkor $x\,\!$ kettős gyök és valós szám. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a másodfokú egyenlet által leírt parabola egy pontban érinti az x-tengelyt.
Ha a diszkrimináns pozitív, akkor két valós megoldást kapunk. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a parabola két pontban metszi az x-tengelyt. Ha a diszkrimináns teljes négyzet, akkor a gyökök racionális számok, egyébként irracionálisak.
Ha a diszkrimináns negatív, akkor két komplex megoldást kapunk. A megoldások egymás komplex konjugáltai. Ebben az esetben a parabola nem metszi az x-tengelyt

[szerkesztés] Levezetés

A másodfokú egyenlet megoldóképletét teljes négyzetté való kiegészítéssel vezethetjük le.

$ax^2+bx+c=0 \,\!$

Elosztva a másodfokú egyenletet $a\,\!$ -val (ami megengedett, mivel $a\ne 0. \,$ )

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0$

ami átrendezve

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$

Az egyenletnek ebben a formájában a bal oldalt teljes négyzetté alakítjuk. Egy konstanst adunk az egyenlőség bal oldalához, amely $x^2+2xy+y^2\,\!$ alakú teljes négyzetté egészíti ki. Mivel $2xy\,\!$ ebben az esetben $\frac{b}{a} x$ , ezért $y = \frac{b}{2a}$ , így $\frac{b}{2a}$ négyzetét adva mindkét oldalhoz azt kapjuk, hogy