Komplex konjugált

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a

$z=a+ib \,$

komplex szám (ahol $a$ és $b$ valós számok) konjugáltja

$\overline{z} = a - ib.\,$

A komplex konjugáltat időnként $z *$ -gal jelölik. A továbbiakban a jelölés $\bar z$ lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélést. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot $1\times 1$ -es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például $\overline{(3-2i)} = 3 + 2i$ , $\overline{i} = -i$ és $\overline{7}=7$ .

A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-koordinátarendszerben az $x$ -tengely tartalmazza a valós számokat, az $y$ -tengely pedig az $i$ többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az $r e i φ$ konjugáltja $r e - i φ$ . Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

[szerkesztés] Tulajdonságok

Az alábbi tulajdonságok minden $z$ és $w$ komplex számra igazak, hacsak ellenkezőjét nem állítjuk:

$\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w} \!\$

$\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} \!\$

$\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ , ha

w

nem nulla

$\overline{z} = z \!\$ akkor és csakis akkor, ha

z

valós

$\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|$

${\left| z \right|}^2 = z\overline{z}$

$z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2}$ , ha

z

nem nulla

Ha $p (x)$ valós együtthatós polinom, és $p (z) = 0$ , akkor $p(\overline{z}) = 0$ is teljesül. Így valós együtthatós polinomok nem-valós komplex gyökei konjugált párokat alkotnak.

A komplex számokból komplex számokba képező $f(z) = \overline{z}$ függvény folytonos. Noha igen egyszerű, nem analitikus, mert orientációfordító, míg az analitikus függvények lokálisan orientációtartók. Mivel bijektív és megőrzi a műveleteket, a komplex számtest automorfizmusa. Mivel a valós számokat fixen hagyja, a $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ testbővítés Galois-csoportjának eleme. $\mathbb{C}$ -nek pontosan két olyan automorfizmusa van, ami a valósokat fixen hagyja: az identitás és a konjugálás, azaz az említett Galois-csoport kételemű.

[szerkesztés] Általánosítás

Általában, egy $F$ test feletti algebrai $α$ elem konjugáltjainak $α$ kanonikus polinomjának gyökeit nevezzük. (A kanonikus polinom az a legalacsonyabb fokú, 1 főegyütthatós polinom, aminek $α$ gyöke.) Ez valóban általánosítja definíciónkat, hiszen az $a + b i$ nemvalós komplex szám kanonikus polinomja

(x - (a + b i))(x - (a - b i)) = x 2 - 2 a x + (a 2 + b 2).

Ha $α$ algebrai $F$ , kanonikus polinomja elsőfokú faktorokra esik szét a felbontási testben:

$(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n),$

ahol $α 1 = α$ . A felbontási test $F$ -et fixen hagyó automorfizmusai megkaphatók az $\alpha\mapsto\alpha_i$ leképezések segítségével ( $i=1,\dots,n$ ).

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../k/o/m/Komplex_konjug%C3%A1lt.html"

Kategória: Matematika

Komplex konjugált

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

[szerkesztés] Tulajdonságok

[szerkesztés] Általánosítás

Views

Navigáció

Keresés

Más nyelveken