Oszthatóság

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az oszthatóság egy matematikai reláció, melynek tulajdonságait a számelmélet vizsgálja

Hagyományos értelemben akkor mondjuk, hogy az a,b természetes számok között (ebben a sorrendben) fennáll az oszthatósági reláció; röviden a b szám osztója az a számnak; vagy az a szám osztható a b-vel, ha van olyan egész szám, melyet b-vel szorozva a-t kapunk, vagyis, más szóval, ha az a szám többszöröse a b-nek.
Egész számok helyett félcsoportokban gyűrűk elemei között értelmezett oszthatóságról is beszélhetünk A definíció hasonló: az a gyűrűelem osztható a b gyűrűelemmel (az a többszöröse b-nek, vagy a b osztója a-nak), ha van olyan c gyűrűelem, amellyel b-t szorozva a-t kapunk.

Tartalomjegyzék

1 Oszthatóság
2 Oszthatósági tesztek a tízes számrendszerben felírt természetes számok körében
3 Oszthatóság az egész számok körében
4 Oszthatóság gyűrűkben és integritástartományokban

[szerkesztés] Oszthatóság

[szerkesztés] Oszthatósági tesztek a tízes számrendszerben felírt természetes számok körében

2-vel osztható az a szám, melynek utolsó számjegye 2, 4, 6, 8 vagy 0.
3-mal osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 3-mal osztható.
4-gyel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 4-gyel.

(Azaz ez a szám 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, vagy 96)

5-tel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 5 vagy 0.
6-tal osztható az a szám, mely 2-vel és 3-mal osztható.
8-cal osztható az a szám, melynek utolsó három jegyéből alkotott szám osztható nyolccal.
9-cel osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 9-cel osztható.
10-zel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 0.
11-gyel osztható az a szám, melynek páros helyiértéken álló számjegyeinek összege megegyezik a páratlan helyiértéken álló számjegyek összegével, vagy a kettő különbsége 11-nek a többszöröse
25-tel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 25-tel, vagyis, ha a szám 00-ra, 25-re, 50-re, vagy 75-re végződik.
50-nel osztható az a szám, melynek az utolsó két jegyéből alkotott szám oszható 50-nel. (50 vagy 00)
2ⁿ-nel osztható az a szám, melynek az utolsó n jegyéből alkotott szám osztható 2ⁿ-nel.
5ⁿ-nel osztható az a szám, melynek az utolsó n jegyéből alkotott szám osztható 5ⁿ-nel.

[szerkesztés] Oszthatóság az egész számok körében

Ha az egész számok halmazát a szokásos összeadás és szorzás művelettel integritástartománynak tekintjük, és a fenti módon értelmezzük rá az oszthatóság fogalmát, akkor például a 6-nak nem csak az 1, 2, 3, és a 6 lesz osztója, hanem a -1, -2, -3 és a -6 is, mert ezekhez is lehet olyan alkalmas egész számot találni, amivel megszorozva őket mind 6-ot adnak.

[szerkesztés] Oszthatóság gyűrűkben és integritástartományokban

Definíció:

Tetszőleges $D$ integritástartomány (kommutatív, zérusosztómentes és egységelemes, általában legalább két elemet tartalmazó gyűrű) esetén $a,b \in D$ elemeire akkor mondjuk, hogy $a$ osztója $b$ -nek, ha van olyan $c\in D$ elem, melyre $a c = b$ .

Jelölés: $a | b$

Ahogyan a gyűrű tekinthető az egész számok halmazán értelmezett négy alapművelet által meghatározott struktúra általánosításának, úgy az itt bevezetett oszthatósági fogalom is tekinthető az egész számokon értelmezett oszthatóság általánosításának.

Valóban, tetszőleges $D$ integritástartomány tetszőleges $a, b, c, d$ elemeire teljesülnek a következő tulajdonságok, (melyek az egész számok esetén is teljesülnek az oszthatóságra):

$a | a$ (reflexivitás)
$a | b$ és $b | c$ esetén $a | c$ (tranzitivitás)
$a | b$ és $a | c$ esetén $a | b + c$ és $a | b - c$
$a | b$ és $b | d$ esetén $a c | b d$
$1 | a$ és $a | 0$ a $D$ bármely $a$ elemére
$a c | b c$ és $c 0$ -tól különböző esetén $a | b$

Tetszőleges integritástartományokban is érvényes (a nullosztómentesség miatt), hogy (0-val jelölve a gyűrű nullelemét) $0 | a$ akkor és csak akkor teljesül, ha $a = 0$ .

Ahogyan az egész számok példája is mutatja, egy integritástartományon az osztást műveletként bevezetni nem feltétlenül egyszerű (a struktúra bővítése nélkül), mert előfordulhat, hogy az $a\bold{x}=b$ -nek nincs is megoldása, vagy több megoldása is van $x$ -re (rögzített $a$ és $b$ mellett), így az esetleges $a / b$ jel nem jelölné az integritástartomány egy egyértelmű elemét.