Riemann-féle zéta-függvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Riemann-féle zéta-függvény a számelmélet, ezenbelül az analitikus számelmélet legfontosabb komplex változós függvénye. Különböző tulajdonságai szorosan összefüggenek a prímszámok eloszlásának kérdéseivel. A nemtriviális gyökeire vonatkozó Riemann-sejtés sokak szerint a matematika legfontosabb megoldatlan problémája.

Tartalomjegyzék

1 Definíció
2 A függvény értékei
3 Kapcsolat a prímszámok eloszlásával
4 A függvényegyenlet
5 A gyökök kapcsolata a prímszámok eloszlásával

[szerkesztés] Definíció

A Riemann-féle ζ(s) függvényt a

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

Dirichlet-sorral definiáljuk ott, ahol ez konvergens, azaz az 1-nél nagyobb valós résszel rendelkező komplex s értékekre. (Az analitikus számelméletben a komplex számokat hagyományosan s=σ+it alakban írják.) ζ(s) analitikus folytatással az egész síkon meromorf függvénnyé terjeszthető ki, aminek egyetlen elsőrendű pólusa 1-ben van, az s=-2, -4, ... helyeken gyökei vannak, továbbá végtelen sok gyöke van a $0\leq\sigma\leq1$ sávban. Ez az úgynevezett kritikus sáv.

[szerkesztés] A függvény értékei

A zéta-függvény értékeit pozitív, páros helyeken Euler határozta meg:

$\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}$

ahol $B n$ az n-edik Bernoulli-szám.

Speciálisan adódik a híres

$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

formula, aminek meghatározása sokak hiábavaló próbalkozása után, először Eulernek sikerült (ez volt az úgynevezett bázeli probléma). Ismert továbbá, hogy $ζ(2 n)$ $π 2 n$ racionális többszöröse.

A $\zeta(3),\zeta(5),\zeta(7),\dots$ értékekről sokkal kevesebbet tudunk. Hosszú ideig az is ismeretlen volt, hogy $ζ(3)$ irracionális szám-e. Ezt végül 1977-ben Apéry bizonyította be. 2001-ben Keith Ball és Tanguy Rivoal igazolta, hogy a Q feletti, $\zeta(3),\zeta(5),\dots$ által generált vektortér végtelendimenziós. 2002-ben Rivoal bebizonyította, hogy $\zeta(5),\zeta(7),\dots,\zeta(21)$ valamelyike irracionális. Ezt V. Zudilin megjavította arra az eredményre, hogy $ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11)$ valamelyike irracionális.

[szerkesztés] Kapcsolat a prímszámok eloszlásával

Már Euler felfedezte a

$\begin{align} \zeta(s)& = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}\\ & = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \dots \right) \cdot \left (1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{27^s} + \dots \right ) \cdots \end{align}$

szorzatelőállítást, ami konvergens minden olyan s=σ+ti alakú komplex számra, ahol σ>1. Itt a p változó a prímszámokon fut végig. Valóban, ha a jobboldali összegeket kiszorozzuk, akkor, a számelmélet alaptételének értelmében minden $1 / n s$ alakú tagot megkapunk, éspedig pontosan egyszer. Az átrendezés jogosságát az adja, hogy a feltétel miatt a szereplő sor abszolút konvergens.

[szerkesztés] A függvényegyenlet

A függvényegyenlet összekapcsolja a függvény értékeit az s és az 1-s helyeken. Vezessük be a

$\xi(s) = \pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)$

függvényt. A $ξ(s)$ függvény az egész komplex számsíkon analitikus és csak a kritikus sávban vannak gyökei (amelyek azonosak a zéta-függvény gyökeivel). Ekkor $ξ(s) = ξ(1 - s)$ teljesül.

A függvényegyenlet aszimmetrikus formája: