Sűrűségfüggvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x) pontosan akkor, ha az X-nek az F(x)-szel jelölt eloszlásfüggvénye előállítható a következő alakban:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt.$

[szerkesztés] A sűrűségfüggvény tulajdonságai

Diszkrét eloszlású valószínűségi változóknak nincs sűrűségfüggvénye.
Sűrűségfüggvénye csak folytonos eloszlású valószínűségi változónak lehet.
Még a folytonos eloszlású valószínűségi változók közül sincs mindnek eloszlásfüggvénye, csak egy speciális osztályuknak, az abszolút folytonos valószínűségi változóknak, melyeket pontosan azzal a tulajdonsággal definiálunk, hogy van sűrűségfüggvényük.
A definícióból nyilvánvalóan látszik, hogy

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt=1$

bármely sűrűségfüggvény esetén. Ám az is megmutatható, hogy egy tetszőleges f(x) mérhető függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény (vagyis pontosan akkor található hozzá olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye) ha f(x) ≥ 0 majdnem mindenütt és a fenti tulajdonság teljesül rá.

A definícióból adódik, hogy ha X valószínűségi változónak van sűrűségfüggvénye, akkor az eloszlásfüggvénye és a sűrűségfüggvénye között a következő kapcsolat áll fenn: F '(x)=f(x), vagyis az eloszlásfüggvényből egyszerű deriválással kapjuk a sűrűségfüggvényt.
A sűrűségfüggvény ismeretében több, a valószínűségi változóval kapcsolatos esemény valószínűsége megadható. Bármely A Borel-halmaz esetén

$\bold P (X\in A) = \int_A f(t) \, dt.$

Speciálisan

$\bold P (a\leq X < b) = \int_a^b f(t) \, dt.$

[szerkesztés] A sűrűségfüggvény általánosítása

Létezik a matematikai statisztikában a sűrűségfüggvénynek egy általánosítása, az általánosított sűrűségfüggvény, mely a valószínűségi mező egy általánosításán, a statisztikai mezőn értelmezett, s definíciójában olyan mély mértékelméleti eszközöket használ, mint a Radon-Nikodym-derivált. Általánosított sűrűségfüggvénye minden valószínűségi változónak van, s abszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvénnyel, míg diszkrét esetben a P(x) függvénnyel azonos.

[szerkesztés] Források

Bognár J.-né - Mogyoródi J. - Prékopa A. - Rényi A. - Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../s/%C5%B1/r/S%C5%B1r%C5%B1s%C3%A9gf%C3%BCggv%C3%A9ny.html"

Kategória: Valószínűség-számítás

Sűrűségfüggvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

[szerkesztés] A sűrűségfüggvény tulajdonságai

[szerkesztés] A sűrűségfüggvény általánosítása

[szerkesztés] Források

Views

Navigáció

Keresés

Más nyelveken