Valószínűségi változó

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A valószínűségi változó a valószínűség-számítás egyik legfontosabb fogalma. Lényegében olyan jelenségek matematikai megfogalmazására, modellezésére alkalmas, melyek véletlentől függő értéket vesznek fel. Ilyen lehet például egy kockadobás eredménye, egy folyó vízállása, vagy az utcán szembe jövő emberek testmagassága.

Bár a valószínűségi változó szemléletes jelentése viszonylag könnyen megragadható, a precíz matematikai meghatározás a huszadik századig váratott magára, és egészen komoly függvénytani illetve mértékelméleti eszközöket használ fel.

Tartalomjegyzék 1 A matematikai definíció 2 Példák 3 A valószínűségi változót jellemző függvények 4 A valószínűségi változót jellemző értékek 5 A valószínűségi változók két nagy osztálya 6 Fontosabb valószínűségi eloszlások 7 Források

[szerkesztés] A matematikai definíció

Az (Ω, A, P) valószínűségi mező Ω eseményterén értelmezett valós értékű X : Ω → R függvény pontosan akkor valószínűségi változó, ha
∀ x ∈ R esetén {ω ∈ Ω : X(ω) < x} ∈ A.

A mértékelmélet kifejezéseivel élve ez úgy fogalmazható meg, hogy ha a valószínűségi mezőt mint mértékteret tekintjük, akkor a valószínűségi változók pontosan az A-mérhető függvények.

Tulajdonképp a definíció azt követeli meg, hogy úgy rendeljünk számokat az eseménytér elemeihez - azaz az elemi eseményekhez - hogy az így kapott függvény "jól viselkedjen" a P valószínűségi mérték szerinti integrálás szempontjából. Ez a követelmény ahhoz kell, hogy a valószínűségi változó viselkedésének leírásában, vizsgálatában lehessen kamatoztatni a függvénytan olyan eszközeit, mint az integrál- vagy a differenciálszámítás. A definíció egyenes következménye, hogy a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a megszokott módon definiálható.

[szerkesztés] Példák

1. A pénzfeldobást leíró valószínűségi változó valószínűségi mezeje a kövekező:

• az Ω eseménytér a fej és az írás elemekből áll (Ω = {fej, írás}),
• az események A σ-algebrája az Ω összes részhalmazából áll, vagyis az A az Ω hatványhalmaza,
• a P valószínűségi mérték a következő: P(∅) = 0; P({fej}) = 1/2; P({írás}) = 1/2; P({fej, írás}) = 1.

Ekkor valószínűségi változó a kövektkező függvény: X : Ω → R , X(fej) = 1, X(írás) = 2.

Ez a valószínűségi változó az 1 értéket veszi fel, ha fejet dobunk és a 2 értéket, ha írást.

2. Hasonlóan a kockadobást leíró valószínűségi változó valószínűségi mezeje a kövekező:

• az Ω eseménytér 6 elemből áll, az egyes dobásból, a kettes dobásból, ... a hatos dobásból
• az események A σ-algebrája most is az Ω összes részhalmazából áll,
• a P valószínűségi mérték most a következő: bármely H ⊆ Ω esetén P(H) = |H| / 6 vagyis a P minden elemi eseményhez 1/6 valószínűséget rendel, és az olyan H eseményekhez, melyek n elemi eseményt tartalmaznak n/6-ot.

A kockadobást leíró valószínűségi változót kapunk a következő függvénnyel: X : Ω → R olyan, hogy az "egyes dobás" elemi eseményéhez az 1-es számot, a "kettes dobás" elemi eseményéhez a 2-es számot stb. a "hatos dobás" elemi eseményéhez a 6-os számiot rendeli.

Ez a valószínűségi változó mindig azt az egész számot veszi fel, amit dobtunk. Azt is lehet látni, hogy ha nem pont az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz lenne az értékkészlete X-nek, hanem például a {2, 4, 6, 8, 10, 12} akkor is a kockadobás véletlen kimeneteit modellezné csak más értékekkel.

[szerkesztés] A valószínűségi változót jellemző függvények

• eloszlásfüggvény
• sűrűségfüggvény
• karakterisztikus függvény
• generátorfüggvény

[szerkesztés] A valószínűségi változót jellemző értékek

• várható érték
• szórás
• kvantilisek
• momentumok
• ferdeség
• lapultság (csúcsosság)
• medián
• módusz

[szerkesztés] A valószínűségi változók két nagy osztálya

A valószínűségi változók két leggyakrabban emlegetett fajtája a diszkrét és a folytonos valószínűségi változó. Szemléletesen a diszkrét valószínűségi változó olyan, ami elkülönült értékeket tud csak felvenni, a folytonos pedig olyan, ami - leglább egy intervallumon - bármilyen értéket felvehet. Diszkrét valószínűségi változó például az, ami egy kockadobás eredményét írja le, vagy azt, hogy egy üzletbe kövektkezőnek betoppanó 8 vendég közül hány férfi. Ezzel szemben folytonosnak tekinthető az a valószínűségi változó, ami azt írja le, hogy az ugyanebbe az üzletbe betoppanó következő vevő milyen magas, vagy hogy egy fáról leszüretelt őszibarack mekkora súlyú, hisz ezek a változók - legalább is egy intervallomon - akármilyen értéket felvehetnek. (Ez a bekezdés csak szemléleteti a folytonos valószínűségi változók fogalmát, és nem teljesen pontos. A precíz matematikai meghatározás a bekezdés alján megadott szócikkben található.)

Fontos megjegyezni, hogy nem csak diszkrét és folytonos valószínűségi változók vannak, tehát ez a két osztály nem adja a valószínűségi változók osztályának partícióját. Se nem folytonos, se nem diszkrét például az a valószínűségi változó, ami a következő kísérletet írja le: feldobunk egy pénzérmét, ha az eredmény fej, akkor a valószínűségi változó értéke legyen 2 ha írás, akkor a valószínűségi változó vegyen fel egy számot véletlenszerűen a [0,1] intervallumon (egyenletes eloszlás szerint).

A folytonos és a diszkrét valószínűségi változókat azért érdemes elkülöníteni a valószínűségi változók nagy osztályából, mert ez a két osztály sok szempontból nagyon jól - és egymástól nagyon eltérően - viselkedik. A várható érték kiszámítására például a diszkrét valószínűségi változók esetében speciális és könnyen számolható képlet adódik, sűrűségfüggvénye pedig csak folytonos valószínűségi változónak lehet.

A pontos matematikai definíciókat az alábbi szócikkek tartalmazzák.

• folytonos valószínűségi változó
• diszkrét valószínűségi változó

[szerkesztés] Fontosabb valószínűségi eloszlások

• Bernoulli-eloszlás
• Béta-eloszlás
• Binomiális eloszlás
• Borell-eloszlás (Borell-Tanner-eloszlás)
• Breit–Wigner-eloszlás
• Cauchy-eloszlás
• Dirichlet-eloszlás
• Egyenletes eloszlás
• elfajult eloszlás
• Erlang-eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• F-eloszlás
• Gamma-eloszlás (Γ-eloszlás)
• Gauss-eloszlás
• Geometriai eloszlás
• Hiperexponenciális eloszlás
• Hipergeometrikus eloszlás
• Indikátor eloszlás
• Karakterisztikus eloszlás
• Khí-négyzet eloszlás (χ²-eloszlás)
• Logisztikus eloszlás
• Lognormális eloszlás (logaritmikusan normális eloszlás, logaritmiko-normális eloszlás)
• Markov-Pólya-Eggenberger-eloszlás
• Negatív binomiális eloszlás
• Normális eloszlás (normál eloszlás)
• Pareto-eloszlás
• Pascal-eloszlás
• Pearson-féle eloszlások
• Poisson-eloszlás
• Polihipergeometrikus eloszlás
• Polinomiális eloszlás
• Student-eloszlás
• t-eloszlás
• valódi eloszlás
• Weibull-eloszlás (Weibull-Gnedenko-eloszlás)

[szerkesztés] Források

• Bognár J.-né - Mogyoródi J. - Prékopa A. - Rényi A. - Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Jánossy L. (1965): A valószínűségelmélet alapjai és néhány alkalmazása. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Kleinrock L. (1979): Sorbanállás, kiszolgálás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
• Medgyessy P. - Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michaletzky Gy. - Mogyoródi J. (1995): Matematikai statisztika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger P. - Szeidl L. - Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
• Vargha A. (2000): Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Pólya Kiadó, Budapest.
• Vetier A. (1991): Szemléletes mérték- és valószínűségelmélet. Tankönyvkiadó, Budapest.