Számelméleti függvények

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ez a matematikai tárgyú lap még csak csonk (azaz erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!

Számelméleti függvénynek nevezünk a matematikában egy olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (kivéve esetleg a nullát), értékkészlete pedig a komplex számok egy részhalmaza. Vagyis $f: \ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ alakú függvényekről van szó.

Rengetegféle ilyen függvényt definiáltak és vizsgáltak már. Ezek közül néhány neve (ha van) és jele:

Tartalomjegyzék

1 Példák
2 Fontosabb fogalmak
3 Hivatkozások
- 3.1 Jegyzetek
- 3.2 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Példák

( $\mathbb{P}$ jelölje a prímszámok halmazát: $\mathbb{P} \ := \ \left\{ \ p \in \mathbb{N} | \ p>1 \and \forall d \in \mathbb{N} \left( d|p \ \Rightarrow \ \left( d=1 \or d=p \right) \ \right) \ \right\}$

[szerkesztés] Egész értékű számelméleti függvények

jel

név (nevek)

jelentés

definitív képlet(ek)

d(n)

osztószám-függvény

az argumentum osztóinak száma

$\mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{N};$

d (n)

:= $| \{k \in \mathbb{N} \ | \ k|n \} |$ :=

∑	d⁰
d \| n

σ(n)

osztóösszeg-függvény (szigma-függvény)

az argumentum osztóinak összege

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; \ \sigma(n) \ := \ \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d$

σ_x(n)

osztóhatványösszeg-
függvény

az argumentum osztóinak valós, rögzített kitevőjű hatványának összege

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ ;

σ x (n)

: =

$\sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d^{x}$ (x∈R)

P(n)

osztószorzat-függvény

az argumentum osztóinak szorzata

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; \ P(n) \ := \ \prod_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d$

ν(n)

nű-függvény

az argumentum prímtényezőinek száma (multiplicitással számolva)

χ(n)

khí-függvény

az argumentum különböző prímtényezőinek száma

$\mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{N};$

χ(n)

:= $| \{p \in \mathbb{P} \ | \ p|n \} |$ := $\sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{p|n} \\ \mbox{ }_{p \in \mathbb{P}}\end{matrix} } p^{0}$

φ(n)

Euler-függvény (fí-függvény)

az argumentumhoz relatív prím, nála kisebb pozitív egészek száma

N→N;
φ(n):= │{k∈Z : 1≤k≤n ∧ (n, k)=1 }│

μ(n)

Möbius-függvény (mű-függvény)

egy, a számok négyzetmentességét „mérő” függvény

$\mathbb{N}^{+} \rightarrow \left\{ -1, 0, 1 \right\}$ ;
$\mu\ (n)$

: =

$\begin{cases} 1, & \mbox{ha } n=1; \\ (-1)^{\chi (n)}, & \mbox{ha } n=p_{1}p_{2}...p_{\chi (n)}; \\ 0, & \mbox{ha} \ \exist p \in \mathbb{P}: \ p^{2}|n \mbox{.} \\ \end{cases}$

π(n)

diszkrét prímszámláló függvény

az argumentumnál nem nagyobb prímek száma

N→N; π(n) := │{p∈N: d(p)=2 ∧ p≤n}│

g(n)

lnko-összeg-függvény

az argumentumnál nem nagyobb pozitív egészek és az argumentum legnagyobb közös osztóinak összege

$g(n) \ := \ \sum_{i=1}^{n} (n,i)$ ^[1]

[szerkesztés] Valós értékű számelméleti függvények

A Λ(n) von Mangoldt-függvény: $\Lambda(n) \ := \ \begin{cases} \ln p & \mbox{ha } \ \exists \left( p, k \right) \in \mathbb{P} \times \mathbb{N}^{+} : \ n = p^{k} ; \\ 0 & \mbox{egy} \acute{e} \mbox{bk} \acute{e}\mbox{nt.} \end{cases}$