Számosság

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A halmazelméletben a számosság fogalma a „halmazok elemszámának” az általánosítása a véges (azaz véges számosságú) halmazokról a végtelen (azaz végtelen számosságú) halmazokra. Véges halmazok esetében a számosság megegyezik tehát a halmaz elemeinek a számával, ami egy természetes szám, beleértve a nullát is, ami az üres halmaz elemszámának felel meg. A halmazok számosságának a jelölésére is ugyanazt a jelölést használjuk, mint a véges halmazok esetén a halmazok elemszámának a jelölésére, azaz tetszőleges $H$ halmaz számosságának vagy kardinális számának a jele: $| H |$ .

Tartalomjegyzék

1 Számosságok egyenlősége
- 1.1 Definíció
2 Véges halmaz
- 2.1 Definíció
- 2.2 Példák
3 Megszámlálhatóan végtelen halmaz
- 3.1 Definíció
4 Megszámlálható halmaz
- 4.1 Definíció
5 Végtelen halmaz
- 5.1 Definíció
6 Lásd még
7 Hivatkozások

[szerkesztés] Számosságok egyenlősége

[szerkesztés] Definíció

Legyen $A, B$ két tetszőleges halmaz. Akkor mondjuk, hogy az $A$ és $B$ halmazok ekvivalensek (vagy más szóval egyenlő számosságúak), ha létezik $A \to B$ bijektív leképezés.

Megjegyzés. Az halmazok ekvivalenciája tetszésszerinti halmazok halmazában ekvivalenciareláció.

[szerkesztés] Véges halmaz

[szerkesztés] Definíció

Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges, ha nem létezik olyan bijektív leképezés, ami a halmazt önmagába képezi le.

Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges $A$ halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely $n \in N$ természetes számra létezik $\{ 1,..., n \} \to A$ bijekció.