Kontinuumhipotézis

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A kontinuumhipotézis a matematika halmazelmélet nevű ágának egyik kijelentése („igazságértékére” vonatkozóan lásd később), amit Cantor vetett fel kérdésként, amikor a Cantor-tételben rámutatott, hogy többféle rendű végtelen számosságú halmaz létezik a halmazelméletben. Legközérthetőbb formájában kontinuumhipotézisen a következőt értjük:

a valós számok minden végtelen részhalmaza vagy magával a valós számok halmazával, vagy a természetes számokkal azonos számosságú.

Másképp fogalmazva:

nincs olyan halmaz, amelynek számossága a valós számok számossága (kontinuum-számosság) és a természetes számok számossága (megszámlálhatóan végtelen) közé esne.

[szerkesztés] A feladat és megoldása

A Cantor-tétel azt állítja, hogy ha H tetszőleges halmaz, akkor a H halmaz és a P(H) halmaz (H hatványhalmaza) számosságára érvényes a következő „szigorú” egyenlőtlenség:

$|H|<|\mathcal{P}(H)|$

Tehát végtelen halmazból nem egyféle van, mert egy végtelen halmaz hatványhalmaza „végtelenebb”, vagy magasabb rendűen végtelen, mint maga a halmaz. Ez azt jelenti, hogy nem feleltethető meg a két halmaz egymásnak úgy, hogy az egyik halmaz egy elemét a másik halmaz pontosan egy eleméhez rendeljük és fordítva. A legegyszerűbb végtelen halmaz a természetes számok N halmaza. Cantor azt is bebizonyította, hogy a valós számok R halmaza ennél magasabbrendűen végtelen (belátható ugyanis, hogy R-ben ugyanannyi elem van, mint P(N)-ben, azaz N hatványhalmazában). Minthogy a végtelen halmazok jellegzetes (karakterisztikus) tulajdonsága, hogy azonos számosságú egy valódi részhalmazával, felvethető a kérdés, hogy R-ben saját magával és N-nel azonos számosságú részhalmazain kívül van-e más végtelen számosságú részhalmaz.

A kontinuumhipotézist Hilbert olyan súlyú kérdésnek ítélte, hogy nevezetes problémái közül az első helyen említette (Hilbert-problémák). A megoldást Kurt Gödel és Paul Cohen szolgáltatta, de nem várt eredményre jutottak. Gödel 1940-ben (a Gödel-féle konstruálható halmazok segítségével) bebizonyította, hogy a kontinuumhipotézis nem cáfolható, míg Cohen1963-ban (a forszolás általa kifejlesztett módszerével) pedig belátta, hogy nem bizonyítható a Zermelo–Fraenkel axiómarendszerben. A kettő együtt azt jelenti, hogy az állítás konzisztens és független, vagyis az állítás hozzávétele sem okoz ellentmondást, és a tagadás hozzávétele sem. Ezzel Hilbert 1. problémája megválaszolásra került.

[szerkesztés] Számosságaritmetika és kontinuumhipotézis

A számosságaritmetika jelöléseivel ez a következőket jelenti. $\mbox{ }_{\aleph_0}$ a természetes számok számossága. Van $\mbox{ }_{\aleph_0}$ -ra rákövetkező számosság is, ezt $\mbox{ }_{\aleph_1}$ -gyel jelöljük. Belátható, hogy $\mbox{ }_{\aleph_0}$ értékét nem hagyhatjuk el, sem összeadással, sem szorzással, az viszont biztos, hogy hatványozással már igen: $\mbox{ }_{2^{\aleph_0}>\aleph_0}$ , tehát $\mbox{ }_{\aleph_1\leq 2^{\aleph_0}}$ . A kontinuumhipotézis azt mondja, hogy

$\aleph_1= 2^{\aleph_0}$ (ez a kijelentés tehát független ZFC-től).

Az előbbi gondolatmenet akármilyen $α$ rendszámra is megismételhető. Ekkor az általánosított kontinuumhipotézist kapjuk – valójában Gödel és Cohen ennek a függetlenségét látták be:

$\aleph_{\alpha+1}= 2^{\aleph_{\alpha}}$ .

A további vizsgálatok során kiderült, hogy az általánosított kontinuumhipotézis „nagyon” független ZFC-től, $\mbox{ }_{2^{\aleph_0}}$ értéke lényegében bármit felvehet (kivéve például az $\mbox{ }_{\aleph_\omega}$ , melyet a Kőnig-tétel kizár). Ezért olybá kezdett tűnni, hogy míg a számosságok összeadása és szorzása azért triviális témakör, mert már mindent elmondtak róla, addig a hatványozás azért, mert a hatvány értéke lényegében bármi lehet.

Saharon Shelah mutatott azonban rá arra, hogy a kontinuumhipotézis témakörében a kérdést szinte napjainkig rosszul tették fel. Shelah létrehozott egy új módszert (a pcf-elméletet), amely segítségével új és meglepő eredményeket sikerült elérnie, többek között a szinguláris számosságokra vonatkozóan. Például belátta, hogy

ha minden

n < ω

-ra $\mbox{ }_{2^{\aleph_n}<\aleph_\omega}$ , akkor $\mbox{ }_{2^{\aleph_\omega}<\aleph_{\omega_4}}$ .

Kiderült, hogy bár sok számosságra a hatványfüggvényt tetszőlegesen választhatjuk (az axiómák szintjén, a függetlenség által), de az egész hatványozásra vonatkozóan teljesülnek bizonyos algebrai tulajdonságok, szabályosságok, melyek ugyanúgy levezethetők, mint a halmazelmélet összes tétele.