Szabályos test

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A szabályos testek vagy platóni testek a geometria területén olyan konvex testeket jelentenek, melyek oldalait egybevágó szabályos sokszögek határolják, és minden lapszögük egyenlő. A 3-dimenziós térben öt szabályos test létezik.

Általánosítása az archimédeszi test.

Johannes Kepler, amikor még körpályákban gondolkodott, úgy gondolta, hogy az akkor ismert hat bolygót (Merkúr, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter, Szaturnusz) hordozó szférák (gömbök) közé a szabályos testek rakhatóak be sorban. Ezzel megmagyarázható volt az is, hogy a bolygók száma miért pont hat.

Euler poliédertétele alapján minden konvex poliéderre teljesül az alábbi összefüggés:
c+l=é+2
ahol a c a csúcsok száma, az l a lapok száma, az é pedig az élek száma.

[szerkesztés] Az öt szabályos test

Név	Tetraéder	Hexaéder	Oktaéder	Dodekaéder	Ikozaéder

Háló
Oldallapok száma	4	6	8	12	20
Oldallapok fajtája	szabályos háromszög	négyzet	szabályos háromszög	szabályos ötszög	szabályos háromszög
Duálisa	tetraéder	oktaéder	hexaéder	ikozaéder	dodekaéder
Élek száma	6	12	12	30	30
Csúcsok száma	4	8	6	20	12
Egy csúcsból induló élek száma	3	3	4	3	5
Testátlók száma	0	4	3	160	36
Lapszög	$\approx 70 ^{\circ} 31' 43,61''$	$90^{\circ}$	$\approx109 ^{\circ} 28' 16,39''$	$\approx116 ^{\circ} 33' 55,84''$	$\approx138 ^{\circ} 11' 22,87''$
Felület az él (a) függvényében	$a^2\sqrt{3}$	$6a^2\,$	$2a^2\sqrt{3}$	$3a^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}$	$5a^2\sqrt{3}$
Térfogat az él (a) függvényében	$\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$	$a^3\,$	$\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$	$\frac{a^3(15+7\sqrt{5})}{4}$	$\frac{a^3(15+5\sqrt{5})}{12}$
Körülírt gömb sugara az él (a) függvényében	$\frac{\sqrt{6}}{4}{a}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}{a}$	$\frac{1+\sqrt{5}}{4}{a}$	$\frac{a}{4}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}$
Beírt gömb sugara az él (a) függvényében	$\frac{\sqrt{6}}{12}{a}$	$\frac{1}{2}{a}$	$\frac{\sqrt{6}}{6}{a}$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}{a}$	$\frac{\sqrt{42+18\sqrt{5}}}{12}{a}$