Equazione differenziale di Bernoulli
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In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un caso particolare di equazione differenziale ordinaria del primo grado.
Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:
- y' + f(x)y = g(x)yn
Il metodo di risoluzione fu trovato da Jean Bernoulli.
Per n=1 o n=0 l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale è il seguente: si divide tutto per yn, ottenendo
- 1)
Si effettua poi la sostituzione 
, da cui 
. Sostituendo nella 1 otteniamo
- w' + w(1 − n)f(x) = (1 − n)g(x)
che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come
- w' = w(n − 1)f(x) + (1 − n)g(x) = F(x)w + G(x)
e integrando, otteniamo
da cui poi si ricava la y.
Una variante consiste nel sostituire direttamente
nell'equazione
- y' = f(x)y + g(x)yn
Si ha
quindi sostituendo e semplificando
- z' = (1 − n)[f(x)z + g(x)]
Esempio
Sia dato
dividendo otteniamo
ponendo 
abbiamo
integrando
ricordando che w = y3, l'unica radice reale per y è
