Nucleo (matematica)

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In algebra lineare, il nucleo di una applicazione lineare f tra gruppi o spazi vettoriali è l'insieme di quegli elementi la cui immagine è zero. Viene spesso indicato come Ker(f), dall'inglese Kernel. Il nucleo eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive, ed è strettamente collegato all'immagine di f: generalmente nucleo e immagine si comportano come "vasi comunicanti": una funzione con nucleo "grande" ha immagine "piccola" e viceversa.

[modifica] Definizione

Il nucleo (in inglese Kernel) di un omomorfismo di gruppi f: X → Y è il sottoinsieme di X costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di Y. Ovvero

$\textrm{Ker}(f) \ := \left \{x \in X: f(x) = 0_{Y}\right \}$

In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Il nucleo è sempre un sottogruppo di X, in particolare contiene sempre l'elemento neutro di X.

Nel caso in cui X sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e f sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi) il nucleo Ker(f) è un sottospazio vettoriale di X (oltre ad esserne un sottogruppo).

[modifica] Proprietà

Un omomorfismo (o applicazione lineare) è iniettivo se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro.
Il nucleo di un omomorfismo di gruppi è un sottogruppo normale.
Una matrice quadrata A a coefficienti in un campo K rappresenta un'applicazione lineare da Kⁿ in sé. In questo caso il nucleo di A (detto anche spazio nullo di A) è composto dal solo vettore nullo se e soltanto se il determinante di A è diverso da zero. Questa condizione comporta anche che l'applicazione lineare è iniettiva e funzione suriettiva e la matrice invertibile.

[modifica] Generalizzazione

Nell'ambito più generale di teoria degli insiemi, il nucleo di una funzione dall'insieme X all'insieme Y è definito alternativamente come la relazione d'equivalenza che lega gli elementi caratterizzati dalla stessa immagine o come l'insieme quoziente derivato dalla relazione stessa.

Nei due casi, viene dunque definito simbolicamente da

$(x =_{f} y) \Longleftrightarrow (f(x) = f(y))$

e da

$\mathop{\mathrm{ker}} f := \{(x,x') \in X \times X \mid f(x) = f(x')\}$

L'insieme quoziente X/_=f è naturalmente isomorfo all'immagine di f. La funzione risulta iniettiva se e solo se tale nucleo (inteso come sottoinsieme del prodotto cartesiano) è la diagonale in $X \times X$ . Immergendoci in morfismi tra strutture algebriche, la definizione risulta coerente con quella data sopra.