Teoria degli insiemi

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La teoria degli insiemi svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e attualmente si colloca nell'ambito della logica matematica. Prima della metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. Essa è stata inizialmente sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem. In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati rispettivamente sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel.

Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (v.a. macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili.

Attualmente si dispone di differenti consolidate teorie formali degli insiemi (vedi anche teoria assiomatica degli insiemi). Inoltre, per chi non ha tempo e gusto per affrontare le astrattezze delle teorie assiomatiche (cosa che sembra accada anche alla maggior parte dei matematici), sono disponibili, e molto utili, esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria naïve degli insiemi.

Elenchiamo le entità principali della teoria degli insiemi.