Paradosso

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Un paradosso, dal greco para, oltre e doxa, opinione, è qualcosa che sfida l'opinione comune: si tratta, infatti (secondo la definizione che ne dà Mark Sainsbury) di

"una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili per mezzo di un ragionamento apparentemente accettabile".

In filosofia ed economia il termine paradosso è usato come sinonimo di antinomia. In matematica si tende a distinguere il concetto di paradosso, che consiste in una proposizione perfettamente dimostrata, ma lontana dall'intuizione, dal concetto di antinomia, che consiste in una vera e propria contraddizione logica.

Il paradosso è un potente stimolo per la riflessione. Ci rivela sia la debolezza della nostra capacità di discernimento sia i limiti di alcuni strumenti intellettuali per il ragionamento.

È stato così che paradossi basati su concetti semplici hanno spesso portato a grandi progressi intellettuali. Talvolta si è trattato di scoprire nuove regole matematiche o nuove leggi fisiche per rendere accettabili le conclusioni che all’inizio erano “apparentemente inaccettabili”. Altre volte si sono individuati i sottili motivi per cui erano fallaci le premesse o i ragionamenti “apparentemente accettabili”.

Sin dall'inizio della storia scritta, si hanno riferimenti ai paradossi: dai paradossi di Zenone alle antinomie kantiane, fino a giungere ai paradossi della meccanica quantistica e della teoria della relatività generale, l'umanità si è sempre interessata ai paradossi. Un'intera corrente filosifico-religiosa, il buddhismo zen, affida l'insegnamento della sua dottrina ai koan, indovinelli paradossali.

Indice

1 Paradossi nella vita comune
- 1.1 I paradossi dei sensi
2 I paradossi più antichi
3 Classificazione dei paradossi logici
4 Paradossi dell'induzione
- 4.1 Non tutto è vero quello che sembra (solito).
5 Il paradosso della chiaroveggenza
6 Lista dei paradossi più noti
7 Bibliografia
8 Voci correlate
9 Altri progetti

[modifica] Paradossi nella vita comune

Molti sono i paradossi in senso letterale, ossia contro l'opinione comune. Ad esempio, si parla molto del riscaldamento globale e dell'effetto serra. Secondo i modelli climatologici accettati, il riscaldamento dell'Artico, con il conseguente scioglimento dei ghiacci, causa il raffreddamento dell'Europa. Quindi più fa caldo (globalmente) più fa freddo (localmente). Questo è noto come paradosso dell'Artico.

Molti paradossi sono alla base di trame di film famosi, ad esempio nel secondo Terminator, scopriamo che le macchine hanno origine dai resti del primo terminator inviato, una versione del classico paradosso del nonno. Meno noto è il paradosso del Comma 22 del codice di guerra dei Klingon, desunto quasi letteralmente dal romanzo Comma 22.

[modifica] I paradossi dei sensi

Nelle neuroscienze sono noti molti paradossi dovuti all'imperfezione dei sensi, o all'elaborazione dei dati da parte della mente. Ad esempio, è possibile creare un suono che sembra crescere sempre, mentre in realtà è ciclico. Per il tatto, basta provare con un compasso a due punte: sul polpastrello si percepiscono due punte separate di pochi millimetri, mentre sulla schiena se ne percepisce solo una anche a qualche centimetro. Oppure si immergono le mani in due bacinelle di acqua una calda ed una fredda; dopo un paio di minuti si immergono entrambe in una bacinella tiepida, e si avranno sensazioni contrastanti: fredda e calda. Le illusioni ottiche sono un altro esempio di paradossi sensoriali.

[modifica] I paradossi più antichi

Il più antico paradosso si ritiene essere il paradosso di Epimenide, in cui il Cretese Epimenide afferma: "Tutti i cretesi sono bugiardi". Poiché Epimenide era originario di Creta, la frase è paradossale. A rigor di logica, moderna ovviamente, questo non è un vero paradosso: detta p la frase di Epimenide, o è vera p o è vera non p. Il contrario di p è Non tutti i cretesi sono bugiardi, ossia Qualche cretese dice la verità, Epimenide non è uno di quelli, e la frase è falsa. Tuttavia la negazione dei quantificatori non era ben chiara nella logica degli antichi greci. Subito dopo troviamo i paradossi di Zenone. Un altro famoso paradosso dell'antichità, questo sì irresolubile, è il paradosso di Protagora, più o meno contemporaneo di Zenone di Elea.

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Alcuni paradossi, poi, hanno preceduto di secoli la loro risoluzione: prendiamo ad esempio il paradosso di Zenone della freccia:

"Il terzo argomento è quello della freccia. Essa infatti appare in movimento ma, in realtà, è immobile: in ogni istante di fatti occuperà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatta di infiniti istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi."

Come si può distinguere la freccia in movimento da quella ferma, e smentire il paradosso? Oggi sappiamo che, secondo la teoria della relatività ristretta, una freccia in moto rispetto all'osservatore appare a questi più corta della stessa freccia ferma rispetto all'osservatore. Tra Zenone e la relatività ristretta intercorrono ben 24 secoli!

[modifica] Classificazione dei paradossi logici

Esistono varie forme di classificazione dei paradossi. Secondo le loro implicazioni, i paradossi si dividono in

Positivi od ontologici
Nulli o retorici
Negativi o logici

a seconda delle loro implicazioni. Un paradosso si dice positivo se attraverso un ragionamento paradossale rafforza le conclusioni a cui si arriva: un esempio ne è la teoria della relatività ristretta. Un paradosso nullo o retorico deriva dal tipico ragionamento sofista, che dimostra una cosa ed il suo contrario, come i già citati paradossi di Zenone. Infine, i paradossi negativi portano il ragionamento a partire da un'ipotesi alla negazione della stessa, e sono in pratica una dimostrazione per assurdo della falsità dell'ipotesi di partenza. Di quest'ultimo tipo sono molti teoremi matematici e fisici, come ad esempio il teorema dell'infinità dei numeri primi o il teorema di Church.

Se invece categorizziamo che cosa ci appare paradossale secondo i nostri sensi, abbiamo i paradossi visivi, auditivi, tattili, gustativi e olfattivi, più spesso indicati come anomalie o ambiguità, e i paradossi logici e matematici che sono categoria a sé.

[modifica] Paradossi dell'induzione

Molti ritengono David Hume responsabile di aver introdotto il problema dell'induzione. In realtà, nella versione del paradosso del sorite, tale problema era noto sin dai tempi di Zenone, vero padre del pensiero paradossale. Il paradosso del sorite afferma:

"Un granello di sabbia che cade non fa rumore, quindi nemmeno due, e nemmeno tre, e così via. Quindi nemmeno un mucchio di sabbia che cade fa rumore".

Oppure il suo inverso: se tolgo un granello di sabbia ad un mucchio, è ancora un mucchio, così se ne tolgo due e così via. Tuttavia 10 granelli non fanno un mucchio. Qual è allora il granello che fa passare da un mucchio ad un non-mucchio? Anche se questo problema può essere risolto con la logica fuzzy, ponendo una funzione che al variare dei granelli restituisca un valore compreso tra 0 e 1, ben più difficile è la risoluzione del seguente paradosso:

0 è un numero piccolo

1 è un numero piccolo

Per l'assioma dell'induzione, se una proprietà vale per 0 e se, dall'ipotesi che valga per un generico n discende che vale anche per n+1, allora vale $\forall n \in \mathbb{N}$

Quindi ogni numero è piccolo.

Questi problemi sono i principali argomenti di discussione dell'epistemologia moderna, che fondamentalmente si riassumono in Quando si può definire vera una teoria?.

[modifica] Non tutto è vero quello che sembra (solito).

A volte il buon senso, anche il buon senso matematico, può farci prendere degli abbagli.

Un esempio lo troviamo nella storiella del tacchino induttivista: un tacchino (americano) aveva imparato che ogni mattina, più o meno alla stessa ora, il padrone gli portava da mangiare. Diligentemente memorizzava tutte le piccole differenze, finché, dopo giorni e giorni, pote' essere soddisfatto di aver trovato una regola infallibile: tra le nove e le dieci di mattina arrivava inevitabillmente il cibo. Al passare delle settimane e dei mesi la regola trovò sempre conferme... fino al giorno del Ringraziamento, quando il tacchino fu calorosamente invitato sulla tavola della famiglia, come protagonista dell'arrosto tradizionale.

Esempi più matematici, li troviamo nella teoria dei numeri, nello studio della distribuzione dei numeri primi. Dopo la sconfitta dell'ultimo teorema di Fermat, resta aperta la Congettura di Riemann sulla sua funzione zeta, che collega la distribuzione dei numeri primi con gli zeri di tale funzione. Finora se ne sono trovati miliardi (letteralmente) che giacciono sulla retta x=1/2, e la congettura che tutti gli zeri giacciano su questa linea potrebbe essere dunque accettata come vera. Ma smentite di quello che sembrerebbe evidente sono famose in matematica, e una riguarda proprio i numeri primi.

La quantità di numeri primi inferiori ad un certo numero, diciamo n, solitamente indicata con $Π(n)$ , può essere approssimata dalla funzione logaritmo integrale, o Li(n), di Gauss, definita come: $Li(x) = \int^{x}_0 \frac 1 {log (u)} du$ . Questo valore sembra essere sempre maggiore della vera distribuzione dei numeri primi, fino a numeri di centinia di cifre.
Tuttavia nel 1914 John Littlewood ha dimostrato invece che $Π(x) - L i (x)$ per x intero cambia di segno infinite volte. Nel 1986 Herman te Riele ha dimostrato addirittura che esistono più 10¹⁸⁰ interi consecutivi per cui $Π(x) - L i (x)$ non è mai minore di 6,62×10³⁷⁰.

Quindi, nonostante miliardi di esempi a favore, la verità o falsità della congettura (o ipotesi, visto che si pensa generalmente che sia vera) di Riemann è tuttora in discussione.

Altra paradossale situazione è il teorema di Goodstein: si definisce una particolare funzione iterativa su numeri interi che inizialmente presenta una crescita esponenziale ma, venendo ridotta ad ogni iterazione di un semplice 1, dopo innumerevoli iterazioni ritorna a 0. Il che dimostra, per inciso, come Ercole avrebbe potuto uccidere l'Idra di Lerna da solo, senza aiuti per cicatrizzarne le teste tagliate, anche se le teste dell'Idra fossero rispuntate con la velocità prevista dalla funzione di Goodstein. Tornando al teorema, esso ha la caratteristica di non poter essere provato all'interno degli assiomi di base della teoria dei numeri (Assiomi di Zermelo - Fraenkel, come previsto dal teorema di incompletezza di Gödel: per la sua dimostrazione, infatti, occorre postulare l'esistenza dei cardinali transfiniti.

[modifica] Il paradosso della chiaroveggenza

Uno dei paradossi più intriganti della teoria dei giochi è il paradosso di Newcomb, che riguarda il principio di dominanza, ed è il seguente. Supponiamo che esista un oracolo, che sappia in anticipo quali saranno le mie decisioni. Egli mette in una busta 1.000.000 €, ma solo se sceglierò solo questa, altrimenti la lascia vuota. Poi mi vengono presentate due buste, una con sicuramente 1.000 €, e l'altra è quella dell'oracolo. Posso scegliere se prendere una sola busta o tutte e due. Se applico il principio di massima utilità, mi conviene prendere solo la seconda, e mi fido dell'oracolo. Se applico il principio di minima perdita, mi conviene sceglierle entrambe: se l'oracolo ha ragione, prendo almeno 1.000 €, se sbaglia 1.001.000 €. Il paradosso nasce dalla visione delle cose: se la scelta dell'oracolo si considera già effettuata al momento della scelta, applichiamo il principio di dominanza, e conviene prendere sempre entrambe le buste. Se invece ammettiamo che il comportamento dell'oracolo sia influenzato dalla nostra scelta, ammettiamo il principio di utilità e conviene prendere solo la prima. Uno dei due principi non è quindi razionale, oppure non esiste la preveggenza. Si possono trovare argomenti a favore di tutte e tre le ipotesi. Tra l'altro, basta che l'oracolo indovini più del 50% delle volte.

Ancora peggio, la chiaroveggenza potrebbe essere dannosa: supponiamo che ci sia una gara automobilistica della specie "Perde chi sterza per primo", in cui due macchine sono lanciate l'una contro l'altra. Se uno dei due è chiaroveggente, la strategia migliore per l'altro è non sterzare: il veggente lo sa, e quindi sterzerà per primo, se non vuole lasciarci le penne.

[modifica] Lista dei paradossi più noti

Per una lista dei paradossi più noti, vedere la voce "Elenco di paradossi".

I paradossi che sono trattati in Wikipedia possono essere trovati nella relativa categoria.

Questi sono alcuni paradossi fondamentali:

Paradossi di Zenone (esiste il movimento? : Achille e la tartaruga - La freccia)
Paradosso del mentitore (che cosa è la "verità"?)
Paradosso di Moore (che cosa significa "sapere"?)
Paradossi dell'infinito
Paradosso dei gemelli (dalla teoria della relatività)
Paradosso di Russell (o del barbiere)
Antinomie kantiane

[modifica] Bibliografia

Odifreddi, P., C'era una volta un paradosso - storie di illusioni e verità rovesciate, Einaudi, 2001, ISBN 8806150901
te Riele, H.J.J., On the sign of the difference pi(x) - li(x), Math. Comp. 48, 1987 pp. 323-328
R. M. Sainsbury (1988). Paradoxes. Cambridge