Rotore (matematica)

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Nel calcolo vettoriale, il rotore è un operatore che mostra la tendenza di un campo vettoriale a ruotare attorno a un punto.

I campi vettoriali che hanno rotore uguale a zero in tutto il campo sono chiamati irrotazionali.

Indice

1 Definizione
2 Proprietà
- 2.1 Rotore del gradiente
3 Esempi
4 Voci correlate

[modifica] Definizione

In matematica il rotore si indica come:

$\vec \nabla \times \vec F$

dove $\vec \nabla$ è l'operatore vettoriale differenziale nabla e $\vec{F}$ è il campo vettoriale su cui viene applicato il rotore.

In coordinate cartesiane, $\vec \nabla \times \vec F$ è, dato $\vec F = (F_1, F_2, F_3)$ :

$\begin{pmatrix} {\frac {\partial F_3} {\partial y}} - {\frac {\partial F_2} {\partial z}} \\ \\ {\frac {\partial F_1} {\partial z}} - {\frac {\partial F_3} {\partial x}}\\ \\ {\frac {\partial F_2} {\partial x}} - {\frac {\partial F_1} {\partial y}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {(\mathrm{rot} \vec F)_1} \\ \\ {(\mathrm{rot} \vec F)_2} \\ \\ {(\mathrm{rot} \vec F)_3} \end{pmatrix}$

Un semplice modo per ricordare il rotore è quello di scrivere la formula in forma pseudomatriciale come il determinante della seguente matrice:

$\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\ {\frac {\partial} {\partial x}} & {\frac {\partial} {\partial y}} & {\frac {\partial}{\partial z}} \\ \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{pmatrix} = \mathbf{i} \left (\frac {\partial F_3}{\partial y} - \frac {\partial F_2}{\partial z} \right ) + \mathbf{j} \left (\frac {\partial F_1}{\partial z} - \frac {\partial F_3}{\partial x} \right) + \mathbf{k} \left (\frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y} \right)$

Dove i, j, e k sono i versori degli assi x, y, e z.

Nella notazione di Einstein utilizzando i simboli sviluppati da Levi-Civita viene scritto come:

$(\nabla \times F)_k = \epsilon_{klm} \partial_l F_m$

Si noti che il risultato dell'applicazione dell'operatore rotore su un campo vettoriale non è realmente un vettore ma uno pseudo vettore. Questo significa che le coordinate vanno lette nel senso opposto rispetto a quello del campo cartesiano e quindi rispetto alla convenzione della mano destra. Per contro l'operatore rotore applicato su uno pseudo vettore genera un vettore.

In $\R^3$ possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello dovuto alle coordinate cilindriche:

$\begin{cases} x = \rho \ \cos \phi \\ y = \rho \ \sin \phi \\ z = z \end{cases}$

Allora se il campo vettoriale F ha componenti: $\vec F(\rho,\phi,z) = \mathbf{e}_{\rho} \ F_{\rho} + \mathbf{e}_{\phi} \ F_{\phi} + \mathbf{e}_{z} \ F_{z}$ , il rotore in coordinate cilindriche diventa il vettore:

$\mathrm{rot} \vec F = \vec \nabla \times \vec F =$

$= \mathbf{e}_{\rho} \ \left (\frac {1}{\rho} \frac {\partial F_{z}}{\partial \phi} - \frac {\partial F_{\phi}}{\partial z} \right ) + \mathbf{e}_{\phi} \ \left (\frac {\partial F_{\rho}}{\partial z} - \frac {\partial F_z}{\partial \rho} \right) + \mathbf{e}_z \ \frac {1}{\rho} \left (\frac {\partial (\rho F_{\phi})}{\partial \rho} - \frac {\partial F_{\rho}}{\partial \phi} \right)$

[modifica] Proprietà

[modifica] Rotore del gradiente

Il rotore del gradiente di qualsiasi funzione F di classe $C 2$ (derivabile due volte) è sempre nullo .

Dimostrazione: $\nabla \times (\nabla \Phi) = \nabla \times (F_x, F_y, F_z) \rightarrow \nabla \times (\nabla \Phi) = \begin{pmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix}$ $= \vec i (F_{zy} - F_{yz}) + \vec j (F_{xz} - F_{zx}) + \vec k (F_{yx} - F_{xy})$ . Essendo le componenti del campo derivabili due volte, per il Teorema di Schwartz le derivate miste sono uguali, quindi le quantità all'interno della parentesi si annullano e si ottiene il vettore nullo $(0,0,0) \,\!$ .