Rotácia (operátor)

Z Wikipédie

Rotácia je diferenciálny operátor definovaný pre vektorové funkcie n premenných, ktorý v každom bode udáva lokálnu mieru rotácie (otáčania) definovaného týmto poľom. Značí se $rot$ , prípadne (hlavne v anglickej literatúre) $curl$ . Je definovaný ako $\nabla \times \mathbf{F}$ (kombinácia operátoru nabla a vektorového súčinu), v troch rozmeroch (pre funkciu troch premenných) ho možno zapísať v tvare:

$\operatorname{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left ( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right )$

Rotáciu využíva napr. Stokesova veta, ktorá prevádza krivkový integrál vektorového poľa po uzavretej krivke na plošný integrál rotácie tohto vektorového poľa cez ľubovolnú plochu ohraničenú touto krivkou. Ak je rotácia vektorového poľa nulová, potom sa toto pole dá vzjadriť ako gradient skalárnej funkcie (tzv. potenciálu) a nazývá sa potenciálnym poľom.

Obsah

1 Vlastnosti rotácie
2 Vyjadrenie v rôznych sústavách súradníc
- 2.1 Vo valcových súradniciach
- 2.2 Vo sférických súradniciach

[úprava] Vlastnosti rotácie

Ak označíme F, G vektorové polia, f skalárne pole, a,b reálne čísla, potom operátor rotácie spĺňa nasledujúce identity:

Je lineárna voči reálnym číslam

$\nabla\times \left(a\mathbf{F}+b\mathbf{G}\right) = a\nabla\times \mathbf{F}+b\nabla\times\mathbf{G}$ .

Rotácia gradientu je nulová

$\nabla\times \nabla f = \mathrm{rot} \, \mathrm{grad} \, f = \mathbf{0}$ .

Rotácia z vektorového poľa násobeného skalárnym poľom (vektora funkcie) je

$\nabla\times \left(f \mathbf{F}\right) = \nabla f \times \mathbf{F}+f \nabla\times\mathbf{F}$ .

Rotácia z vektorového súčinu dvoch vektorových polí je

$\nabla\times \left(\mathbf{F} \times \mathbf{G}\right) = \left(\mathbf{G}\cdot\nabla\right)\mathbf{F}-\left(\mathbf{F}\cdot\nabla\right)\mathbf{G} +\mathbf{F}\left(\nabla\cdot\mathbf{G}\right)-\mathbf{G}\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)$ ,

pre rotáciu z rotácie vektorového poľa F platí

$\nabla \times \left(\nabla\times \mathbf{F}\right) = \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)-\Delta \mathbf{F}$ .

[úprava] Vyjadrenie v rôznych sústavách súradníc

Následujúce vzťahy udávajú vyjádrenie rotácie v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je F vektorové pole v daných súradniciach, potom platí

[úprava] Vo valcových súradniciach

$\nabla \times \mathbf{F} = \left({1 \over r}{\partial F_z \over \partial \varphi} - {\partial F_\varphi \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat r} + \left({\partial F_r \over \partial z} - {\partial F_z \over \partial r}\right) \boldsymbol{\hat \varphi} + {1 \over r}\left({\partial ( r F_\varphi ) \over \partial r} - {\partial F_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z}$

[úprava] Vo sférických súradniciach

$\nabla \times \mathbf{F} = {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} ( F_\varphi\sin\theta ) - {\partial F_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial F_r \over \partial \varphi} - {\partial \over \partial r} ( r F_\varphi ) \right) \boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} ( r F_\theta ) - {\partial F_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi}$

Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x₁,x₂,x₃, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h₁,h₂,h₃

$\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_2 h_3} \left( \frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_2}- \frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_3} \right)\boldsymbol{\hat x}_1$

$+\ \ \ \ \ \frac{1}{h_1 h_3} \left( \frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_3}- \frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_1} \right)\boldsymbol{\hat x}_2$

$+\ \ \ \ \ \frac{1}{h_1 h_2} \left( \frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_1}- \frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_2} \right)\boldsymbol{\hat x}_3$

V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí

$\left(\nabla\times \mathbf{F}\right)^i \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i} = \left(\varepsilon^{ijk} F_{k,j}\right) \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i},$

kde $\varepsilon^{ijk}$ je Levi-Civitov symbol.

Dohoda: Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.

Zdroj: "http://sk.wikipedia.org../../../r/o/t/Rot%C3%A1cia_%28oper%C3%A1tor%29.html"

Kategórie: Diferenciálne operátory | Vektorový počet