Teorema di Fermat sui punti stazionari

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Il Teorema di Fermat è un teorema dell'analisi matematica, che prende il nome da Pierre de Fermat. Il teorema fornisce un metodo per la ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione differenziabile, mostrando che ogni punto di estremo locale è un punto stazionario della funzione (cioè la derivata prima della funzione si annulla in quel punto). In tal modo, utilizzando il teorema di Fermat, il problema della ricerca dei punti estremi di una funzione è ridotto alla risoluzione di un'equazione.

È importante notare che il teorema di Fermat fornisce solamente una condizione necessaria per il valore degli estremi della funzione: è vero che tutti i punti estremi sono stazionari, ma esistono anche alcuni punti stazionari che non sono punti estremi, ma possono essere punti di flesso. Per valutare se un punto stazionario è un valore estremo e per distinguere se tale punto è di massimo o di minimo, è necessario analizzare la derivata seconda della funzione (se esiste).

[modifica] Teorema di Fermat

Sia f : (a,b) → R una funzione e si supponga che che x₀ in (a,b) sia un punto di estremo locale di f. Se f è derivabile in x₀, allora $\frac{df}{dx}(x_0) = 0$ .

[modifica] Intuizione

Di seguito si fornisce l'intuizione per i punti di massimo della funzione, ma il ragionamento vale, con opportune modifiche, anche per i punti di minimo. Se x₀ in (a,b) è un punto di massimo locale, allora esiste un intorno (piccolo a piacere) di x₀ tale che la funzione sia crescente prima del punto e decrescente dopo. Siccome la derivata è positiva negli intervalli in cui la funzione cresce ed è negativa negli intervalli in cui la funzione decresce, fˈ è positiva prima di x₀ e negativa dopo. fˈ deve assumere tutti i suoi valori in modo continuo (per il teorema di Darboux), così deve assumere necessariamente valore zero nel punto in cui da positiva diventa negativa. Il solo punto in cui è possibile che fˈ(x) = 0 è quindi x₀.

Si noti che il teorema, come anche la sua dimostrazione, è più generale dell'intuizione, in quanto non richiede che la funzione sia differenziabile in un intorno di x₀. Come affermato dal teorema, è sufficiente che la funzione sia differenziabile solo nel punto estremo.

[modifica] Dimostrazione

Si supponga che x₀ sia un punto di massimo locale (si applica la dimostrazione anche nel caso complementare in cui x₀ è un minimo). Allora esiste un δ > 0 tale che (x₀ - δ,x₀ + δ) è contenuto in (a,b) e tale che si abbia f(x₀) ≥ f(x) per ogni x con |x - x₀| < δ. Pertanto, per ogni h contenuto in (0,δ) vale la relazione

$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.$

Dato che il limite di questo rapporto per h → 0 da destra esiste ed è pari a fˈ(x₀) (limite del rapporto incrementale), allora si può concludere che fˈ(x₀) ≤ 0. D'altra parte, per h contenuto in (-δ,0) si nota che