משפט פרמה (לנקודות קיצון)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט פרמה קובע כי בנקודת קיצון ערך הנגזרת של פונקציה, אם הוא קיים, שווה לאפס. זה אינו המשפט האחרון של פרמה המפורסם.

[עריכה] ניסוח המשפט

תהא $\ f$ פונקציה המוגדרת בקטע $\left(a,b\right)$ ותהי $x_0\isin (a,b)$ נקודת קיצון (מינימום מקומי או מקסימום מקומי) בה הפונקציה גזירה, אז מתקיים $f'\left(x_0\right)=0$ .

[עריכה] הוכחה

נוכיח במקרה שבו $\ x_0$ היא נקודת מקסימום. ההוכחה למקרה השני דומה.

מאחר ש $\ x_0$ נקודת מקסימום, הרי שלכל $x\isin (a,b)$ מתקיים $f(x)\le f(x_0)$ . מכאן כי עבור כל $\ \Delta x$ שעבורו $x_0+\Delta x\isin (a,b)$ מתקיים $f(x_0+\Delta x)\le f(x_0)$ .

כעת נסתכל בנגזרות מימין ומשמאל של הפונקציה בנקודה $\ x_0$ :

$f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\le 0$

זאת כי המונה תמיד שלילי או אפס, כפי שראינו, והמכנה תמיד חיובי, כי השאיפה לאפס היא מצד ימין.

לעומת זאת:

$f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\ge 0$

כי הפעם המכנה שלילי תמיד.

מאחר שהפונקציה גזירה בנקודה $x 0$ הרי שמתקיים $f'_-\left(x_0\right)=f'_+(x_0)$ ולכן בהכרח $f'\left(x_0\right)=0$ .

[עריכה] הכללה למקרה מרובה המשתנים

ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה סקלרית מרובת משתנים $\ f(x_1,\dots ,x_n):\mathbb{R}^n\rarr\mathbb{R}$ . אם לפונקציה יש מקסימום בנקודה כלשהי, בפרט יהיה לה מקסימום כאשר נסתכל על הפונקציה כפונקציה של משתנה יחיד ונתייחס לשאר המשתנים בתור קבועים, ועל כן על פי משפט פרמה הנגזרת החלקית על פי משתנה זה תתאפס. ניתן לעשות זאת עבור כל המשתנים, ועל כן הנגזרת החלקית עבור כל אחד מהמשתנים מתאפסת בנקודה זו. פירוש הדבר הוא שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודת הקיצון יהיה וקטור האפס.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה