Teorema di Rouché

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Nota disambigua - Se stai cercando il teorema per un sistema di equazioni lineari, vedi Teorema di Rouché-Capelli.

In matematica il teorema di Rouché è un teorema dell'analisi complessa che afferma che se due funzioni complesse $f$ e $g$ sono olomorfe su di un contorno chiuso $C$ e al suo interno, con $| g (z) | < | f (z) |$ su $C$ , allora $f$ e $f + g$ possiedono lo stesso numero di zeri all'interno di $C$ , dove ogni zero deve essere contato con la sua molteplicità. Questo teorema ha come ipotesi il fatto che il contorno $C$ deve essere semplice, cioè senza autointersezioni.

[modifica] Spiegazione geometrica

Visto che la distanza tra le curve è piccola,

h (z)

compie esattamente un giro intorno, come

f (z)

Si può fornire una dimostrazione informale del teorema di Rouché.

Per prima cosa, occorre riformulare il teorema in un modo leggermente diverso. Sia $h (z) = f (z) + g (z)$ . Si noti che, dato che $f$ e $g$ sono olomorfe, deve esserlo anche $h$ . Allora, con le condizioni imposte precedentemente, il teorema di Rouché afferma che

| f (z) | > | h (z) - f (z) |

allora

f (z)

h (z)

hanno lo stesso numero di zeri all'interno di

f (z)

Si noti che la condizione $| f (z) | > | h (z) - f (z) |$ significa che, per ogni $z$ , la distanza di $f (z)$ dall'origine è maggiore della lunghezza di $h (z) - f (z)$ . Facendo riferimento alla figura, questo significa che per ogni punto della curva blu il segmento che unisce tale punto con l'origine è più lungo del segmento verde ad esso associato. In modo non rigoroso si può affermare che la curva rossa $g (z)$ è sempre più vicina alla curva blu $f (z)$ piuttosto che all'origine.

Ma il paragrafo precedente mostra che, dato che $f (z)$ si avvolge esattamente una volta attorno allo 0, così deve fare anche $h (z)$ , e per il principio dell'argomento, l'indice di entrambe le curve attorno allo zero è lo stesso, e quindi $f (z)$ e $h (z)$ hanno lo stesso numero di zeri.

[modifica] Dimostrazione

Sia $h = f + g$ : $h$ è olomorfa perché è la somma di due funzioni olomorfe. Per il principio dell'argomento, si ha che

$N_h-P_h=I_h(C,0)={1\over 2\pi i}\oint_C {h'(z) \over h(z)}\,dz,$

dove $N h$ è il numero di zeri di $h$ all'interno di $C$ , $P h$ il numero di poli, $I h (C,0)$ è il numero di avvolgimento di $h (C)$ intorno allo 0. Dato che $h$ è analitica su $C$ e al suo interno, si ha che $P h$ è uguale a zero, e che

$N_h=I_h(C,0)={1\over 2\pi i}\oint_C {h'(z) \over h(z)}\,dz.$

Si ha che $h' / h = D (log(h (z))$ , dove col simbolo $D$ si intende la derivata complessa. Ricordando che $h = f + g$ si trova che

$N_h={1\over 2\pi i}\oint_C {h'(z) \over h(z)}\,dz$

$={1\over 2\pi i}\oint_C D (\log{h(z)})\,dz$

$={1\over 2\pi i}\oint_C D (\log{(f(z)+g(z))})\,dz$

$={1\over 2\pi i}\oint_C D \left(\log{\left(f(z)\left(1+{g(z)\over f(z)}\right)\right)}\right)\,dz$

$={1\over 2\pi i}\oint_C D \left(\log{f(z)}+\log{\left(1+{g(z)\over f(z)}\right)}\right)\,dz$

$={1\over 2\pi i}\oint_C D \left(\log{f(z)}\right)+D\left(\log{\left(1+{g(z)\over f(z)}\right)}\right)\,dz$

$={1\over 2\pi i}\oint_C D \left(\log{f(z)}\right)\,dz+{1\over 2\pi i}\oint_C D\left(\log{\left(1+{g(z)\over f(z)}\right)}\right)\,dz$

$={1\over 2\pi i}\oint_C {f'(z) \over f(z)}\,dz+{1\over 2\pi i}\oint_C { D \left(1+{g(z)\over f(z)}\right) \over 1+{g(z)\over f(z)} }\,dz$

$=I_f(C,0)+I_{1+{g(z)\over f(z)}}(C,0).$

Il numero di avvolgimento di $1 + g / f$ su $C$ è zero, perché si è supposto che $| g (z) | < | f (z) |$ , quindi il rapporto $g / f$ è limitato da una circonferenza di raggio 1, se ad esso si somma 1 si ottiene $1 + g / f$ che non è uguale a zero ed è limitato da una circonferenza di raggio 1 centrata in 1, quindi $C$ sotteso a $1 + g / f$ non può avvolgersi intorno a 0.