Satz von Rouché

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Der Satz von Rouché ist ein Satz aus der Funktionentheorie. Er macht eine Aussage darüber, mit welchen Funktionen man eine holomorphe Funktion stören kann, ohne dass sich die Anzahl der Nullstellen ändert. Die Version für meromorphe Funktionen macht eine ähnliche Aussage für die Differenz von Nullstellen und Polstellen.

Inhaltsverzeichnis

1 Der Satz von Rouché für holomorphe Funktionen
2 Anwendung: Schranken für Polynomnullstellen
3 Der Satz von Rouché für meromorphe Funktionen
4 Beweis für meromorphe Funktionen

[Bearbeiten] Der Satz von Rouché für holomorphe Funktionen

Seien $f,g\in\mathcal H(G)$ zwei auf dem Gebiet $G\subset\mathbb C$ holomorphe Funktionen. Außerdem sei die Kreisscheibe $B(z_0,r) \cup \partial B(z_0,r)$ samt ihrem Rand in G enthalten und für alle Punkte $z \in \partial B(z_0,r)$ des Randes gelte:

$\big| g(z)\big| < \big| f(z)\big|$ .

Dann haben die Funktionen $f$ und $f + g$ gleichviele Nullstellen (entsprechend der Vielfachheit gezählt) auf $B (z 0, r)$ .

Anmerkung: $B (z 0, r)$ bezeichnet den offenen Kreis mit Mittelpunkt $z 0$ und Radius r;

[Bearbeiten] Anwendung: Schranken für Polynomnullstellen

Es sei $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ ein Polynom mit komplexen Koeffizienten. Das Gebiet G ist die gesamte komplexe Zahlenebene. Es sei $k\in\{0,1,\dots,n\}$ ein Index, für den die Ungleichung

$|a_k|r^k\ge \sum_{j\ne k}|a_j|r^j$

für wenigstens ein $r > 0$ erfüllt ist. Dann erfüllen die Funktionen $f (x) = a k x k$ und $g (x) = p (x) - f (x)$ die Voraussetzungen des Satzes von Rouché für den Kreis B(0,r). f ist von Null verschieden und hat daher genau eine Nullstelle der Vielfachheit k im Ursprung. Daraus folgt, dass auch p=f+g genau k Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt) im Kreis B(0,r) besitzt.

[Bearbeiten] Der Satz von Rouché für meromorphe Funktionen

Seien $f, g$ zwei auf dem Gebiet $G\subset\mathbb C$ meromorphe Funktionen. Außerdem gelte $B(z_0,r) \cup \partial B(z_0,r) \subset G$ , sowie dass $f, g$ keine Null- oder Polstellen auf dem Rand $\partial B(z_0,r)$ haben; und für alle $z \in \partial B(z_0,r)$ gelte:

$\big| g(z)\big| < \big| f(z)\big|$ .

Dann stimmen für $f$ und $f + g$ die Differenzen

Anzahl der Nullstellen – Anzahl der Polstellen

(entsprechend der Vielfachheit bzw. Polordnung gezählt) auf $B (z 0, r)$ überein.

[Bearbeiten] Beweis für meromorphe Funktionen

Definiere $h (z) = f (z) + g (z)$ .

Nach Voraussetzung gilt:

$\left| \frac{g(z)}{f(z)}\right| < 1, \quad\forall z \in \partial B(z_0,r)$ .

Da die Kreislinie kompakt ist, gibt es sogar eine offene Umgebung $U=\partial B(z_0,r)+B(0,\epsilon)$ dieser, so dass die Ungleichung auch auf U erfüllt ist. Der Bruch f/g nimmt auf U seine Werte innerhalb des Einheitskreises B(0,1) an, daher gilt auch: