ノルム (体論)

体論において、ノルム (norm) は、体の拡大（とくにガロア拡大などの代数拡大）に付随して現れる写像の一種で、拡大体の元をもとの体の元に移す性質を持つ。

[編集] 定義

体の有限次元拡大 L / K に対し、L の元 α のノルム N_L/K(α) は以下のように定義される。

K の L を含む代数閉包 K^{^} を固定し、σ_i: L → K^{^} (1 ≤ i ≤ n) を K の元を固定する同型の全体とするとき

$N_{L/K}(\alpha) := \sigma_1(\alpha)\cdots\sigma_n(\alpha).$

L を複素数体 C, K を実数体 R とすると、R の代数閉包は C であり、R を固定する C の自己同型は恒等写像と複素共役をとる写像の 2 つであるから、任意の複素数 α = a + ibに対して

$N_{\mathbb{C/R}}(\alpha) = \alpha \bar{\alpha} = |\alpha|^2 = a^2 + b^2$

が拡大 C / R に関する α のノルムである。

拡大 L / K について、L の任意の元 α に対し、N_L/K(α) は K の元になる。
拡大 L / K と L の元 α, β に対し

$N_{L/K}(\alpha\beta) = N_{L/K}(\alpha)\cdot N_{L/K}(\beta).$
拡大の列 L / M / K と L の元 α に対し

$N_{L/K}(\alpha) = N_{L/M}(\alpha)\cdot N_{M/K}(\alpha).$
ヒルベルトの定理 90: 体の拡大 L / K が有限次巡回拡大でそのガロア群が σ で生成されるとき、以下の 2 つの条件が同値である。
1. N_L/K(α) = 1.
2. α = β / σ(β) を満たす L の元 β が存在する。