周長

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周長（しゅうちょう）は閉曲線一周分の長さであり、ペリメーター(perimeter)の同義語とされることもある。多角形や円の周長は容易に計算できるが、楕円の周長は初等関数では表わすことができないことが知られている。

[編集] 多角形の周長

各辺の長さの総和が多角形の周長に等しくなる。特に一辺がaである正n角形の周長は na で表わされる。一般に周長が等しい多角形どうしの面積はそれぞれ異なるが、相似で周長も等しい2つの図形は合同であるので面積も等しくなる。

[編集] 円の周長

円の周長cは直径をd、円周率をπとおくと

c = πd

と表わされる。半径をrとして

c = 2πr

と表わされる場合も多い。なお全ての円は互いに相似であるので、周長の等しい2つの円の面積Sは等しい。つまりSをcを使って

S = rc/2

と表わすことができる。

[編集] その他の閉曲線の周長

半径r、中心角θ(rad)の扇形の周長は以下の式で表わされる。

rθ + 2r = r(θ+2)　0<θ<2π

アステロイド（星芒形）x = acos³θ , y = asin³θ の周長は6a。

カージオイド（心臓形）x = a(1 + cosθ)cosθ , y = a(1 + cosθ)sinθ の周長は8a。

フラクタル図形は面積が有限でもその周長は無限である。

楕円 x²/a² + y²/b² = 1 の周長lは長軸と短軸の長さ(=2a,2b)のみで決まるが、正確な周長は楕円積分によって求めなければならない。以下に求め方の一例を示す。

$l = 4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2 t}dt = 2\pi a \left[1-\sum_{n=1}^\infty \frac{k^{2n}}{2n-1} \left\{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right\}^2\right],\left(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \right)$

一般に閉曲線の周長を求めるのに

$\oint_{C}$

などの記号を用いて積分を行う。

[編集] 関連項目

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[編集] 多角形の周長

[編集] 円の周長

[編集] その他の閉曲線の周長

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