条件付期待値

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確率論において、確率変数の条件付期待値とは初等的にはなんらかの情報が与えられた場合の確率変数に期待される値のことである。しかし、より一般の場合の定義では、確率変数の条件付期待値は新しい確率変数であり、元の確率変数より強い可測性をもつ。このことは新しい確率変数を決定するのに必要な情報が減少したということなので、情報を減らしたときに確率変数がどうなるかを計算したものとみることもできる。この方法で情報を最小のものにすると、条件付期待値は定数になり期待値と一致する。初等的な定義では、この最小の情報に情報を追加したときの挙動を見ているといってもよい。

[編集] 初等的な定義

初等的な定義では条件付期待値は条件付確率による期待値である。 P(A) > 0 をみたす事象 A が起きたことが分かったときに、事象 B が起きる条件付確率は

$P(B|A) := \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

で定義され、事象 A が起きたことが分かったときの確率変数 X の条件付期待値は

$E[X|A] := E^{P(\cdot | A)}[X] = \frac{E[X,A]}{P(A)}$

で与えられる。

[編集] 初等的な場合の例

大小二つのサイコロを投げて大きいほうのサイコロの目を X、小さいほうの目を Y としよう。条件付期待値を計算したい確率変数を二つのサイコロの目の積 X Y とし、Y = 3 という情報が分かっているとする。このとき、ありうる可能性は(X, Y) = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)}の6通りであり、それぞれ 1/6 の確率なので

$E[XY|Y=3] = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}=\frac{21}{2}$