減法
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減法（げんぽう、subtraction）は、一方から一部として他方を取り去る（引く）ことにより両者の間の差異を求める二項演算で、算術の四則と呼ばれるものの 1 つ。計算することの側面を強調して引き算（ひきざん）、減算（げんさん、げんざん）などとも言う。しばしば、減法の演算結果は差（さ、difference）と呼ばれる。
抽象代数学において減法は多くの場合、加法の逆演算として定式化されて加法に統合される。たとえば自然数の間の減法は、整数への数の拡張により、数を引くことと負の数を加えることとが同一視されて、減法は加法の一部となる。またこのとき、常に大きいものから小さいものを減算することしかできない自然数の体系に対して、整数という体系では減算が自由に行えるようになる（整数の全体は、逆演算として減法を内包した加法に関してアーベル群になる）。
[編集] 定義
二つの数 a, b の加法と呼ばれる演算 "+" に対して、数 c が
- a + b = c
という関係を満足するとき、演算子 "−" を導入して
- b = c − a あるいは a = c − b
と記し、c から a を引いた差は b であるとか b と c の差は a であるなどという。
例えば、2 + 3 = 5 であるので
- 5 − 3 = 2, 5 − 2 = 3
のような計算が成立する。
[編集] 正負の数の計算方法
2 数 a, b が以下の条件の場合、a − b は次のように計算する。
- 2 数の符号が同じ場合
- a, b ともに正の数のとき
- a の絶対値が b の絶対値より大きい場合
- a の絶対値から b の絶対値を引いた差に、正の符号をつける。
- a の絶対値が b の絶対値より小さい場合
- b の絶対値から a の絶対値を引いた差に、負の符号をつける。
- a の絶対値が b の絶対値より大きい場合
- a, b ともに負の数のとき
- a の絶対値が b の絶対値より大きい場合
- a の絶対値から b の絶対値を引いた差に、負の符号をつける。
- a の絶対値が b の絶対値より小さい場合
- b の絶対値から a の絶対値を引いた差に、正の符号をつける。
- a の絶対値が b の絶対値より大きい場合
- a, b の絶対値が等しい場合
- 差は 0 である。
- 2 数の符号が異なる場合
- a が正の数、b が負の数のとき
- a の絶対値と b の絶対値を足し、正の符号をつける。
- a が負の数、b が正の数のとき
- a の絶対値と b の絶対値を足し、負の符号をつける。
この結果から、減法
- a − b
は、 a と、b と絶対値が等しく符号が異なる数である −b との加法と捉えなおすことができる。すなわち、
- a − b = a + (−b)
- cf. a − b ≠ b − a, (a − b) − c ≠ a − (b − c)
が、加法と捉えなおすことによって、加法の交換法則・結合法則が成り立つ。すなわち、
- a − b = a + (−b) = (−b) + a, a − b − c = {a + (−b)} + (−c) = a + {(−b) + (−c)}
とすることができる。
