線型近似

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数学における線型近似とは、一般の関数を一次関数を用いて（より正確に言えばアフィン写像を用いて）近似することである。

例えば、微分可能な一変数関数fは、テイラーの定理のn=1の場合により、

と表せる。R₂は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした

となる。この近似はxがaに十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元のfのグラフの(a, f(a))における接線の表式となっており、そのことから、接線近似とも呼ばれる。

線型近似はベクトル値関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに関数行列が用いられる。例えば、微分可能な実関数f(x, y)は、(a, b)に十分近い(x, y)においては次のように近似できる。

右辺はz=f(x, y)のグラフの(a, b)における接平面の表式となっている。

さらに一般に、バナッハ空間においては

と表される。ここでDf(a)ははfのaにおけるフレシェ微分である。

[編集] 例

線型近似を用いての近似値を求めてみよう。

1. という関数を考える。この関数についてf(25)を求めればよい。
2. 微分するとである。
3. 線型近似によりとなる。
4. 小数に直すとおよそ2.926であるが、これは確かに真の値2.924…に近い。