브라-켓 표기법

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브라-켓 표기법(bra-ket notation)은 양자 역학의 상태를 기술하는 수학적 표기법이다. 이 표기법은 폴 디랙이 처음 고안해 쓰기 시작했다. 이 표기법에서 <φ|를 브라(bra), |ψ>을 켓(ket)이라 부르고, 두 상태벡터 간의 내적 <φ|ψ>을 브라켓이라고 읽기 때문에, 그와 같은 이름으로 불린다.

양자 역학에서, 계의 상태는 힐베르트 공간 H의 벡터로 나타낸다. 각 상태벡터는 켓(ket)벡터라고 하고, 다음과 같이 쓴다.

$|\psi\rangle$

식에서 ψ는 어떤 상태를 나타내는 문자이다. H의 쌍대공간(dual space)의 원소(즉, H에서 C로의 선형 연속 함수)는 브라(bra)벡터이고, 다음과 같이 쓴다.

$\langle\phi|$

식에서 φ는 어떤 상태를 나타내는 문자이다.

브라벡터 < φ| 를 켓벡터 |ψ > 에 적용하면, 어떤 복소수가 되고, 이는 브라켓이라 부르며, 다음과 같이 쓴다.

$\langle\phi|\psi\rangle.$

모든 켓벡터 |ψ> 에는 특정한 쌍대 브라(dual bra) <ψ| 가 대응하고, 이는 H 위의 연속 선형함수이며 다음과 같이 정의한다.

$\langle\psi|\rho\rangle = ( |\psi\rangle , |\rho\rangle )\;\; \hbox{for all kets}\ |\rho\rangle$

여기서 우변의 ( , )는 힐베르트 공간에서 정의된 내적을 나타낸다. 위 식에 의해 쌍대공간의 모든 브라벡터에는 각 한 개만의 켓벡터가 대응된다는 Riesz representation theorem에 의해 위 정의는 옳다.

브라켓 연산은 다음과 같은 성질이 있다.

임의의 브라 <φ|, 켓 |ψ₁ > 와 |ψ₂>, 그리고 복소수 c₁, c₂에 대해, 브라는 선형 범함수(?)(functional)이기 때문에, 다음을 만족한다.

임의의 켓 |ψ>, 브라 <φ₁| 과 <φ₂|, 그리고 복소수 c₁ 과 c₂에 대해, 선형범함수(?)(linear functional)의 합과 스칼라 배에 대한 정의에 의해, 다음을 만족한다.

임의의 켓 |ψ₁> 과 |ψ₂ >;, 복소수 c₁ , c₂에 대해, 내적의 성질에 의해, 다음을 만족한다. ( *는 복소공액(complex conjugate)을 뜻한다.)

$c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \;\; \hbox{is dual to} \;\; c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|.$

임의의 브라 <φ| 와 켓 |ψ>에 대해, 내적의 공리에 의해 다음을 만족한다.

$\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*.$

A : H -> H 가 선형연산자일 때, A를 켓 |ψ> 에 작용하여, 다른 켓 (A|ψ>)을 얻는다. 연산자는 브라에 작용할 수도있다. A를 브라 <φ| 에 작용하면, 브라 (<φ|A)를 얻으며, 이 H에서의 선형 범함수 (linear functional)는 다음과 같은 정의를 따른다.

$\langle\phi|A) \; (|\psi\rangle) = \langle\phi| \; (A|\psi\rangle).$