외적

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수학에서 외적(外積)은 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 내적(內積)과는 달리 연산의 결과가 벡터이기 때문에 벡터곱(vector product)이라고 불리기도 한다. 외적은 물리학의 각운동량, 로렌츠 힘등의 공식에 등장한다.

목차 1 정의 2 성질 3 응용 4 고차원에서의 외적 5 관련 항목

[편집] 정의

두 벡터 a와 b의 외적은 a x b라 쓰고(수학자들은 a ^ b라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.

식에서 θ는 a와 b가 이루는 각을 나타내며, n은 a와 b에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다.

위 정의에서의 문제점은 a와 b에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, n이 수직이면, -n도 수직이다.

어느 것을 두 벡터의 외적으로 할 것인가는 벡터공간의 방향성(orientation)에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 a×b는, a, b, a×b가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 외적은 pseudovector로 분류된다. Fortunately, in nature cross products tend to come in pairs, so that the "handedness" of the coordinate system is undone by a second cross product.

외적을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.

[편집] 성질

외적의 크기(결과로 나온 벡터의 길이) | a×b |는 a와 b가 이루는 평행사변형의 면적으로 생각할 수 있다.

외적의 반대칭성(antisymmetry)

a×b = -b×a

분배법칙

a×(b + c) = a×b + a×c

스칼라곱에 대한 선형성 (???)

(ra)×b = a×(rb) = r(a×b).

a와 b가 모두 0벡터가 아닐 때, a×b = 0 이어야만 a, b는 서로 평행이고, 역도 성립한다.

외적에 대한 교환법칙은 성립하지 않지만, 다음 야코비 항등식'(Jacobi identity)과 이 변형인 라그랑지 공식(Lagrange's formula)을 만족한다.

a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = 0

a×(b×c) = (a·c)b - (a·b)c

분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로서, R³에서의 벡터의 합과 벡터곱이 리대수(Lie algebra)를 이룸을 알 수 있다.

단위벡터 i, j, k 는 주어진 직교좌표계에서 다음 관계를 만족한다.

i×j = k, j×k = i, k×i = j

이 식을 이용해, 외적의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다.: a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃] and b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃] 로 표기할 때,

a×b = [a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁]

위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식을 이용하여 간단히 쓸 수 있다.:

따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 내적과 외적으로 쓸 수 있다.

det(a,b,c) = a·(b×c).

외적은 또한 사원수의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 외적에 대한 i, j, k에 대한 관계가 사원수의 연산에서 i, j, k가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터 [a1, a2, a3]가 사원수 a1 i + a2 j + a3 k를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 외적과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 내적값 &times -1과 같게 된다.) 사원수의 연산과 벡터 연산의 관계에 대해서는 사원수와 공간 회전 항목을 보라.

[편집] 응용

외적은 벡터 미분 연산인 컬(curl)에서 쓰이고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로렌츠 힘의 공식에 등장하며, 토크와 각운동량의 정의에도 나온다.

[편집] 고차원에서의 외적

7차원 벡터 공간의 외적도 4원수(quaternion)의 방법을 8원수(octonion)에 적용하여 얻어질 수 있다.

7차원 공간의 외적은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 외적과 공유한다.

• 다음과 같은 의미에서 bilinear: x×(ay+bz) = ax×y+bx×z and (ay+bz)×x = ay×x+bz×x
• 반교환(anti-commutative): x×y + y×x = 0
• x와 y 모두에 수직: x·(x×y) = y·(x×y) = 0
• 야코비 항등식이 성립한다. x×(y×z) + y×(z×x) + z×(x×y) = 0
• ||x×y||² = ||x||²||y||²-(x·y)²

[편집] 관련 항목

• 오른손 법칙